Integral von tan x: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von \tan x ist \ln\lvert\sec x\rvert + C. Dabei ist sec x der Sekans, also der Kehrwert des Kosinus. Keine Grundableitung liefert \tan x direkt, also kommt das Ergebnis aus einer kurzen Substitution.

Graph von tan x und seiner Stammfunktion

Herleitung Schritt für Schritt

1. Schreibe mit Sinus und Kosinus: \displaystyle\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx.
2. Setze u = \cos x. Dann ist du = -\sin x\,dx, also \sin x\,dx = -du.
3. Substituiere: \displaystyle\int\frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C.
4. Setze u = \cos x wieder ein: -\ln\lvert\cos x\rvert + C.
5. Vereinfache mit einer Logarithmusregel: -\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert} = \ln\lvert\sec x\rvert.

Schritt 3 verwendet das Integral von 1/x. Das ist das Muster \int\frac{f'}{f}\,dx = \ln\lvert f\rvert, mit einem Minuszeichen, weil im Zähler -f' steht.

Probe durch Ableiten

Hier wird die Ableitung von sec x verwendet, nämlich \sec x\tan x. Vergleiche mit der Ableitung von tan x, die \sec^2 x ist: ein völlig anderes Ergebnis.

Bestimmte Integrale

Da \tan x ungerade ist, gilt \int_{-a}^{a}\tan x\,dx = 0 für a < \frac{\pi}{2}. Bis \frac{\pi}{2} zu integrieren ist uneigentlich und divergiert, weil \ln\sec x \to \infty.

Varianten mit Substitution

Zum Beispiel ist \int\tan(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert\sec(3x)\rvert + C.

Mit passender innerer Ableitung: \int x\tan(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sec(x^2)\rvert + C.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: tan mal sec². \int\tan x\sec^2 x\,dx ergibt mit u = \tan x, du = \sec^2 x\,dx das Ergebnis \frac{\tan^2 x}{2} + C.

Beispiel 2: tan hoch drei. Verwende \tan^2 x = \sec^2 x - 1:

Beispiel 3: das Gegenstück cot. Dieselben Schritte mit u = \sin x liefern \int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C. Siehe Integral von cot x.

Häufige Fehler

1. \sec^2 x angeben. Das ist die Ableitung von \tan x, nicht das Integral.
2. \ln\lvert\cos x\rvert ohne Minuszeichen angeben. Die Ableitung davon ist -\tan x.
3. Den Betrag weglassen. \cos x ist auf \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right) negativ, und \ln einer negativen Zahl ist nicht definiert.
4. Mit \int\tan^2 x\,dx verwechseln, das \tan x - x + C ergibt. Siehe Integral von tan² x.

Übe mit den Aufgaben zur Substitution.