Integral von csc x: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von \csc x ist -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C. Der Kosekans csc x ist der Kehrwert des Sinus. Das Integral ist das Gegenstück zum Integral von sec x und wird mit demselben Trick hergeleitet.

Graph von csc x und die Fläche darunter

Herleitung Schritt für Schritt

1. Multipliziere mit \frac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x}: \int\csc x\,dx = \int\frac{\csc^2 x + \csc x\cot x}{\csc x + \cot x}\,dx
2. Setze u = \csc x + \cot x. Mit der Ableitung von csc x und der Ableitung von cot x: du = (-\csc x\cot x - \csc^2 x)\,dx = -(\csc^2 x + \csc x\cot x)\,dx
3. Der Zähler ist also -du, und das Integral ist \int\frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C.
4. Rücksubstituieren: -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C.

Warum die drei Formen gleich sind

Erstens gilt (\csc x + \cot x)(\csc x - \cot x) = \csc^2 x - \cot^2 x = 1. Also

Zweitens ist \csc x - \cot x = \frac{1 - \cos x}{\sin x}, und nach der Halbwinkelformel gilt \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \tan\frac{x}{2}. Das ergibt \ln\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert.

Probe durch Ableiten

Verwende die Form \ln\lvert\csc x - \cot x\rvert:

Bestimmte Integrale

Bei x = \frac{\pi}{2}: \csc - \cot = 1 - 0 = 1, die Stammfunktion ist also \ln 1 = 0. Bei x = \frac{\pi}{3}: \csc - \cot = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}. Also

Ein Integral ab 0 divergiert immer, weil \csc x bei x = 0 eine senkrechte Asymptote hat und \ln\tan\frac{x}{2} \to -\infty gilt.

Varianten mit Substitution

Beispiel 1. \int\csc(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert\csc 3x - \cot 3x\rvert + C.

Beispiel 2. \int\frac{dx}{2\sin x\cos x} = \int\frac{dx}{\sin 2x} = \int\csc(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\tan x\rvert + C, mit der Halbwinkelform und \frac{2x}{2} = x.

Beispiel 3. \int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx sieht ähnlich aus, ist aber das Integral von cot x und ergibt \ln\lvert\sin x\rvert + C.

Häufige Fehler

1. -\csc x\cot x angeben. Das ist die Ableitung von \csc x.
2. Das Minuszeichen vor \ln\lvert\csc x + \cot x\rvert verlieren. Die Ableitung wäre dann -\csc x.
3. Die Formen vermischen. -\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert ist falsch: Das äußere Minus gehört zum Plus innen und umgekehrt.
4. -\cot x angeben. Das ist das Integral von \csc^2 x, nicht von \csc x.

Übe mit den Aufgaben zu trigonometrischen Integralen.