FU Berlin Analysis III: Themen, Prüfung und Übungen

Analysis III ist an der Freien Universität Berlin das dritte und letzte Analysis-Modul im Grundlagenbereich des Bachelorstudiengangs Mathematik. Es wird jedes Wintersemester angeboten, umfasst 11 Leistungspunkte und besteht aus vier Stunden Vorlesung und zwei Stunden Übung pro Woche. Grundlage dieser Seite ist die Studien- und Prüfungsordnung für den Bachelorstudiengang Mathematik in den FU-Mitteilungen 23/2024. Du findest hier, welche Themen die Ordnung nennt und wo du die rechnerische Seite davon üben kannst.

Was Analysis III abdeckt

Die Modulbeschreibung nennt als Gegenstand Differentiation und Integration im n-dimensionalen Raum über den reellen Zahlen, zum Beispiel:

• Extrema mit und ohne Nebenbedingungen
• Integration auf Flächen
• die Integralsätze von Gauß und Stokes
• Grundbegriffe der Maß- und Integrationstheorie, insbesondere das Lebesgue-Integral und L^p-Räume

Als mögliches weiteres Thema zur Vertiefung der Differentiation nennt die Ordnung gewöhnliche Differentialgleichungen. Als Qualifikationsziel steht dort, dass du Differentiation und Integration im mehrdimensionalen Raum beherrschst und dich erfolgreich in verschiedene Gebiete der Mathematik einarbeiten kannst.

Der Teil zu Extrema, Flächenintegralen und Integralsätzen entspricht ungefähr dem Ende von Calculus 3. Die Maß- und Integrationstheorie geht weit darüber hinaus und gehört im amerikanischen System zu einer Real-Analysis-Vorlesung im Masterstudium.

Themenübersicht Analysis III

Für Maß- und Integrationstheorie, das Lebesgue-Integral und L^p-Räume gibt es bei PracticeCalculus keine Lektionen. Diese Themen sind beweisorientiert und werden in Vorlesung und Übung erarbeitet. Unsere Lektionen helfen bei den konkreten Rechnungen mit Mehrfach-, Kurven- und Flächenintegralen.

Die drei Analysis-Module im Vergleich

Bei Analysis III sieht die Ordnung je 50 Stunden für die Vor- und Nachbereitung der Übung und für schriftliche Übungsaufgaben vor, dazu 70 Stunden für Prüfungsvorbereitung und Prüfung.

Beispielaufgaben auf dem Niveau von Analysis III

1. Lagrange-Multiplikatoren. Maximiere f(x,y) = xy unter x + y = 10. Aus \nabla f = \lambda \nabla g folgt y = \lambda und x = \lambda, also x = y = 5 und

2. Kugelkoordinaten. Das Volumen der Einheitskugel ist

3. Satz von Gauß. Für F(x,y,z) = (x, y, z) ist \operatorname{div} F = 3. Der Fluss durch die Oberfläche der Einheitskugel ist deshalb

So läuft Analysis III gut

• Rechentechnik vor der Theorie sichern. Wer Mehrfachintegrale und Koordinatenwechsel flüssig rechnet, hat mehr Kapazität für Maßtheorie und Lebesgue-Integral.
• Integralsätze an Beispielen prüfen. Rechne bei einfachen Feldern beide Seiten von Gauß oder Stokes aus. So siehst du, dass die Sätze stimmen, und findest Vorzeichenfehler.
• Die Analysis II nicht vergessen. Gradient, Hesse-Matrix und der Satz über implizite Funktionen werden vorausgesetzt. Die Einheit zu partiellen Ableitungen ist eine schnelle Wiederholung.
• Formeln sammeln. Unser Formelblatt eignet sich als Grundlage für die eigene Übersicht.

Tipp: Die Sätze von Green, Stokes und Gauß sagen im Kern alle dasselbe: Ein Integral über den Rand entspricht einem Integral einer Ableitung über das Innere. Wer diese gemeinsame Idee sieht, muss sich drei Sätze nicht getrennt merken.