FU Berlin Analysis II: Themen, Prüfung und Übungen

Analysis II ist an der Freien Universität Berlin das zweite Analysis-Modul im Bachelorstudiengang Mathematik. Es wird jedes Sommersemester angeboten, umfasst 10 Leistungspunkte und besteht aus vier Stunden Vorlesung und zwei Stunden Übung pro Woche. Diese Seite stützt sich auf die Studien- und Prüfungsordnung für den Bachelorstudiengang Mathematik in den FU-Mitteilungen 23/2024 und ordnet die Themen des Moduls passenden Übungen auf PracticeCalculus zu.

Was Analysis II abdeckt

Laut Modulbeschreibung baut Analysis II auf Analysis I auf und behandelt:

• Integration einer Variablen: Riemann-Integral, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Integrationsregeln, Mittelwertsatz und uneigentliche Integrale
• Funktionenfolgen und -reihen: gleichmäßige und absolute Konvergenz, Potenzreihen, Taylorentwicklung und die Vertauschbarkeit von Grenzwertbildung mit Integration und Differentiation
• Normierte und metrische Räume: Normen, Metriken, Vollständigkeit, kompakte Teilmengen, stetige Abbildungen und der Banachsche Fixpunktsatz
• Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher: partielle, totale und stetige Differenzierbarkeit, Satz über die Umkehrfunktion, Satz über implizite Funktionen, Extrema und Taylorentwicklung

Zusätzlich kann ein Ausblick auf die Integralrechnung mehrerer Variablen folgen, also Mehrfachintegrale und Volumen von Rotationskörpern, und ein Ausblick auf gewöhnliche Differentialgleichungen mit elementar lösbaren Typen. Im amerikanischen System verteilt sich der Stoff auf Calculus 2 und Calculus 3, ergänzt um Topologie, die dort gar nicht vorkommt.

Themenübersicht Analysis II

Für gleichmäßige Konvergenz, normierte und metrische Räume, Kompaktheit, den Banachschen Fixpunktsatz sowie die Sätze über Umkehrfunktion und implizite Funktionen in voller Allgemeinheit gibt es bei PracticeCalculus keine eigenen Lektionen. Die Lektion zum impliziten Differenzieren zeigt nur die Rechentechnik in der Ebene.

Eckdaten aus der Ordnung

Im Anschluss folgt im Wintersemester Analysis III mit Integration im \mathbb{R}^n, den Integralsätzen und dem Lebesgue-Integral.

Beispielaufgaben auf dem Niveau von Analysis II

1. Uneigentliches Integral.

2. Taylorpolynom. Für f(x) = \ln(1 + x) um x_0 = 0 ist

3. Kritischer Punkt. Für f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3x liefert \nabla f = (2x + y - 3,\; x + 2y) = 0 den Punkt (2, -1). Die Hesse-Matrix

ist positiv definit, also liegt dort ein lokales Minimum.

So läuft Analysis II gut

• Integration früh sicher machen. Die Integrationsregeln kommen am Anfang und werden danach vorausgesetzt. Kurze Einheiten zu partieller Integration und Substitution sparen später Zeit.
• Bilder zu metrischen Räumen zeichnen. Offene Kugeln in verschiedenen Normen sehen unterschiedlich aus. Skizzen helfen, Definitionen wie Kompaktheit greifbar zu machen.
• Totale und partielle Ableitung auseinanderhalten. Eine Funktion kann alle partiellen Ableitungen haben und trotzdem nicht total differenzierbar sein. Merke dir ein Gegenbeispiel.
• Prüfung planen. Unsere Anleitung zur Prüfungsvorbereitung hilft, die letzten Wochen sinnvoll aufzuteilen.

Tipp: Die Taylorentwicklung kommt in Analysis II zweimal vor, erst für eine Variable und dann für mehrere. Wer die eindimensionale Formel sicher kann, erkennt im Mehrdimensionalen schnell das gleiche Muster mit Gradient und Hesse-Matrix.