FU Berlin Analysis I: Themen, Prüfung und Übungen

Analysis I ist an der Freien Universität Berlin das erste Analysis-Modul im Bachelorstudiengang Mathematik. Es gehört zum Grundlagenbereich, bringt 10 Leistungspunkte und besteht aus vier Stunden Vorlesung und zwei Stunden Übung pro Woche. Grundlage dieser Seite ist die Studien- und Prüfungsordnung für den Bachelorstudiengang Mathematik, veröffentlicht in den FU-Mitteilungen 23/2024. Hier findest du, was das Modul laut Ordnung abdeckt und wo du die Rechentechniken dahinter mit sofortiger Rückmeldung üben kannst.

Was Analysis I abdeckt

Die Modulbeschreibung nennt als Inhalte:

• Axiome und Eigenschaften der Zahlenmengen \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} und \mathbb{C}, die vollständige Induktion sowie Anordnung und Vollständigkeit von \mathbb{R}
• Folgen, Reihen und Potenzreihen mit Grenzwert, Limesregeln, Cauchyfolgen und Konvergenzkriterien
• Eigenschaften von Funktionen: Injektivität, Surjektivität, Umkehrfunktion, Beschränktheit, Monotonie, Konvexität und elementare Funktionen
• Stetigkeit mit Zwischenwertsätzen, Stetigkeit und Kompaktheit sowie gleichmäßiger Stetigkeit
• Differenzierbarkeit mit Mittelwertsätzen und lokalen und globalen Extrema

Gegebenenfalls gibt es zusätzlich einen Ausblick auf das Riemann-Integral mit dem Hauptsatz, auf Integrationsregeln und auf Funktionenfolgen, Potenzreihen und Taylorentwicklung. Ob dein Semester so weit kommt, hängt von der Vorlesung ab. Fest eingeplant sind diese Themen erst in Analysis II.

Als Qualifikationsziel beschreibt die Ordnung, dass du mit Begriffen wie Folge, Reihe, Grenzwert, Stetigkeit, Ableitung und Integral selbstständig sicher umgehen kannst und passende Probleme auch aus anderen Wissenschaften mathematisch formulieren und lösen kannst. Im amerikanischen System entspricht das dem Kern von Calculus 1 und den Folgen und Reihen aus Calculus 2, allerdings auf Beweisniveau.

Themenübersicht Analysis I

Für die axiomatische Einführung der Zahlenbereiche, Supremum und Infimum, Cauchyfolgen, Kompaktheit und gleichmäßige Stetigkeit gibt es bei PracticeCalculus keine eigenen Lektionen. Diese Beweisthemen lernst du in Vorlesung und Übung.

Analysis an der FU Berlin im Überblick

Die Fachsemester stammen aus dem exemplarischen Studienverlaufsplan für den Studienstart im Wintersemester. Parallel laufen Lineare Algebra I und Computerorientierte Mathematik I.

Beispielaufgaben auf dem Niveau von Analysis I

1. Vollständige Induktion. Zeige \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}. Für n = 1 stimmt 1 = 1. Gilt die Formel für n, dann ist

2. Grenzwert einer Folge. Teile Zähler und Nenner durch n^2:

3. Quotientenkriterium. Für \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} ist

also konvergiert die Reihe absolut.

So läuft Analysis I gut

• Übungsblätter selbst lösen. Die Ordnung sieht 90 Stunden für Vor- und Nachbereitung der Übung samt Übungsaufgaben vor, fast ein Drittel des Aufwands. Kurze tägliche Einheiten auf PracticeCalculus machen die Rechentechniken dafür sicher.
• Definitionen genau lernen. Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit kommen in jeder Übung vor. Schreibe sie in eigenen Worten auf und suche zu jeder ein Beispiel und ein Gegenbeispiel.
• Die Prüfung nicht unterschätzen. Auch wenn Analysis I unbenotet ist, musst du die Klausur bestehen, und Analysis II baut direkt darauf auf.
• Fehlerquellen kennen. Die Liste der häufigsten Fehler zeigt, wo in Klausuren die meisten Punkte verloren gehen.

Tipp: Viele Konvergenzbeweise in Analysis I laufen auf einen Vergleich mit der geometrischen Reihe hinaus. Wer sie sicher beherrscht, kommt bei Reihen viel schneller voran.