LMU Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen (P5)

Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen (P5) ist an der LMU München das zweite Analysis-Modul im Bachelor Mathematik. Die Vorlesung läuft im Sommersemester mit vier Semesterwochenstunden und 6 ECTS, begleitet vom Übungsmodul P6. Diese Lernhilfe ordnet die Rechenthemen von P5 den passenden Übungen auf PracticeCalculus zu, damit du partielle Ableitungen, Extrema und Linearisierungen sicher beherrschst, bevor es an die Beweise geht.

Was P5 abdeckt

Laut Modulhandbuch (Stand 22.4.2022) setzt P5 die Einführung in die Analysis aus dem ersten Semester fort. Die Themen der Analysis einer Variablen werden vertieft und verallgemeinert durch:

• die Topologie metrischer Räume
• die Differentialrechnung mehrerer Variablen
• die Sätze über lokale Extrema und über implizite Funktionen
• Fourierreihen einer Variablen

Lernziele sind das Verständnis topologischer Begriffe sowie die Beherrschung der Beweismethoden und Rechentechniken der Differentialrechnung in mehreren reellen Variablen und ihrer Anwendungen.

Im amerikanischen System entspricht der Rechenteil dem Differentialteil von Calculus 3: partielle Ableitungen, Gradient, Tangentialebenen, Extrema und Lagrange-Multiplikatoren. Mehrfachintegrale und Vektoranalysis kommen an der LMU erst im Modul P9.

Themenübersicht P5

Für Fourierreihen selbst gibt es bei PracticeCalculus noch keine eigene Lektion. Die Integrale von Produkten aus Sinus und Kosinus, die man für Fourierkoeffizienten braucht, übst du aber in der Lektion zu trigonometrischen Integralen.

Der Analysis-Zyklus an der LMU

Laut Modulhandbuch werden in P9 unter anderem die Transformationsformel für Diffeomorphismen und die Integralsätze der klassischen Vektoranalysis behandelt.

Beispielaufgaben auf dem Niveau von P5

1. Totale Differenzierbarkeit und Tangentialebene. Für f(x,y) = x^2 y im Punkt (1, 2) ist f(1,2) = 2, f_x = 2xy = 4 und f_y = x^2 = 1, also

2. Lokales Extremum. Für f(x,y) = x^3 - 3x + y^2 ist \nabla f = (3x^2 - 3, 2y), also kritische Punkte bei (\pm 1, 0). Mit der Hesse-Matrix \operatorname{diag}(6x, 2) ist (1, 0) ein lokales Minimum und (-1, 0) ein Sattelpunkt.

3. Fourierkoeffizient. Für f(x) = x auf [-\pi, \pi] ist

So läuft P5 gut

• Topologie mit Bildern verstehen. Zeichne offene Kugeln, Ränder und kompakte Mengen in der Ebene, bevor du mit allgemeinen metrischen Räumen arbeitest.
• Lineare Algebra wach halten. Die totale Ableitung ist eine lineare Abbildung, Extremwerte entscheidet die Definitheit der Hesse-Matrix.
• Rechnen automatisieren. Kurze tägliche Einheiten auf PracticeCalculus machen partielle Ableitungen und Gradienten zur Routine.
• Formeln sammeln. Unser Formelblatt ist ein guter Grundstock für die eigene Übersicht.

Tipp: Der Satz über implizite Funktionen verallgemeinert das implizite Differenzieren aus der Schule. Wer die Rechnung sicher kann, versteht schneller, was der Satz garantiert.