LMU Analysis einer Variablen (P1): Themen, Lernhilfe, Übungen
Lernhilfe zu Analysis einer Variablen (P1 und P2) an der LMU München: Zahlen, Folgen, Reihen, Stetigkeit, Ableitung, Integral und Potenzreihen.
LMU München Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Module
- P1 Analysis einer Variablen (Vorlesung) und P2 Analysis einer Variablen (Übung)
- ECTS
- 6 ECTS für die Vorlesung (4 SWS) und 6 ECTS für die Übung (2 SWS)
- Semester
- Wintersemester, empfohlen im 1. Semester
- Voraussetzungen
- Keine
- Prüfung
- P1: Klausur (benotet); P2: Übungsmappe (unbenotet)
- Inhalt
- Natürliche, reelle und komplexe Zahlen, Folgen und Reihen, Limites, Stetigkeit, Differential- und Integralrechnung einer Variablen, Potenzreihen, Funktionenfolgen und -reihen
- Nächster Kurs
- P5 Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen
- Hier üben
- Calculus 1 und Calculus 2
Auf dieser Seite
Analysis einer Variablen ist an der LMU München das erste Analysis-Modul im Bachelor Mathematik. Es besteht aus der Vorlesung P1 mit vier Semesterwochenstunden und der Übung P2 mit zwei Semesterwochenstunden, beide im Wintersemester und mit je 6 ECTS. Diese Lernhilfe ordnet die Themen den passenden Übungen auf PracticeCalculus zu. Die Beweise lernst du in Vorlesung und Übung, die Rechentechniken dahinter kannst du hier mit sofortiger Rückmeldung trainieren.
Was Analysis einer Variablen abdeckt
Laut Modulhandbuch (Stand 22.4.2022, auf Basis der Prüfungs- und Studienordnung vom 8. Dezember 2021) ist Inhalt des Moduls die grundlegende Einführung in die Differential- und Integralrechnung einer Variablen. Der Aufbau:
- Grundlagen über natürliche, reelle und komplexe Zahlen
- Konvergenz von Folgen und Reihen, Limites und Stetigkeit
- Differential- und Integralrechnung in einer Variablen
- Potenzreihen sowie Folgen und Reihen von Funktionen
Als Lernziele nennt das Handbuch das Verständnis der Denkweisen und Begriffe der Analysis, die Fähigkeit, mathematische Sachverhalte klar zu formulieren, und die Beherrschung der grundsätzlichen Beweismethoden und Rechentechniken der Analysis einer reellen Variablen. Die Übung P2 vertieft dieselben Inhalte an selbständig zu bearbeitenden Beispielen und Aufgaben.
Im amerikanischen System entspricht das Calculus 1 und den Reihen aus Calculus 2, mit dem Anspruch eines Analysis-Kurses: Jeder Satz wird bewiesen.
Themenübersicht Analysis einer Variablen
| Thema in P1 | Üben | Nachlesen |
|---|---|---|
| Reelle Zahlen, Ungleichungen und Betrag | Funktionen und Notation | Betragsfunktion |
| Konvergenz von Folgen | Folgen und ihre Grenzwerte | Einschnürungssatz |
| Reihen | Reihen und Partialsummen | Konvergenzkriterien |
| Konvergenzkriterien | Welches Kriterium? | Quotientenkriterium, Nullfolgenkriterium |
| Limites von Funktionen | Was ist ein Grenzwert? | Grenzwertsätze |
| Stetigkeit | Stetigkeit | Zwischenwertsatz, Extremwertsatz |
| Differentialrechnung | Wann Ableitungen scheitern | Ableitung als Grenzwert |
| Mittelwertsatz | Tangenten im Einsatz | Mittelwertsatz, Satz von Rolle |
| Integralrechnung | Riemann-Summen | Riemann-Summen, Hauptsatz |
| Integrationstechniken | Partielle Integration | Substitution, partielle Integration |
| Potenzreihen | Potenzreihen und Konvergenzradius | Potenzreihen |
| Funktionenreihen und Taylor | Häufige Maclaurin-Reihen | Taylorreihen, Satz von Taylor |
Die Analysis-Module im Bachelor Mathematik
| Modul | Semester | ECTS | Form | Schwerpunkt |
|---|---|---|---|---|
| P1 Analysis einer Variablen (Vorlesung) | 1 (Winter) | 6 | Vorlesung 4 SWS, Klausur | Eine Variable |
| P2 Analysis einer Variablen (Übung) | 1 (Winter) | 6 | Übung 2 SWS, Übungsmappe | Aufgaben zu P1 |
| P5 Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen | 2 (Sommer) | 6 | Vorlesung 4 SWS, Klausur | Metrische Räume, mehrere Variablen |
| P9 Maßtheorie und Integration mehrerer Variablen | 3 (Winter) | 9 | Vorlesung 4 SWS und Übung 2 SWS | Lebesgue-Integral, Mehrfachintegrale, Integralsätze |
Analysis einer Variablen ist auch Pflicht im Bachelor Wirtschaftsmathematik und im Nebenfach Mathematik. Die Unterrichtssprache ist laut Handbuch Deutsch oder Englisch.
Beispielaufgaben auf dem Niveau von P1
1. Grenzwert einer Folge. Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck:
2. Teleskopreihe.
3. Stetigkeit und Zwischenwertsatz. f(x) = x^3 + x - 1 ist stetig mit f(0) = -1 < 0 und f(1) = 1 > 0. Also hat f eine Nullstelle in (0, 1), und wegen f'(x) = 3x^2 + 1 > 0 ist sie eindeutig.
So läuft Analysis einer Variablen gut
- Die Übungsmappe ernst nehmen. P2 wird über eine Übungsmappe abgeschlossen. Wer jede Woche selbst Lösungen aufschreibt, baut genau die Fähigkeiten auf, die auch in der Klausur zu P1 zählen.
- Rechnen automatisieren. Kurze tägliche Einheiten auf PracticeCalculus machen Grenzwerte, Ableitungen und Integrale zur Routine.
- Definitionen präzise lernen. Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit tauchen in jedem Beweis auf. Finde zu jeder Definition ein Beispiel und ein Gegenbeispiel.
- Formeln sammeln. Unser Formelblatt eignet sich als Grundlage für eine eigene Übersicht.
- Fehlerquellen kennen. Die Liste der häufigsten Fehler hilft, Rechenfehler in der Klausur zu vermeiden.
Tipp: Viele Reihenbeweise führen auf die geometrische Reihe zurück. Wer sie in allen Varianten sicher kann, hat bei Konvergenzkriterien einen großen Vorteil.
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Folgen und ihre Grenzwerte
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