Satz von Taylor: Restglied und Fehlerabschätzung mit Beispielen

Der Satz von Taylor besagt, dass eine glatte Funktion gleich ihrem Taylorpolynom plus einem Fehlerterm ist, und er gibt diesem Fehlerterm eine exakte Form. Damit wird aus "das Taylorpolynom ist eine gute Näherung" eine garantierte Anzahl korrekter Nachkommastellen.

Aussage des Satzes von Taylor

Die Funktion f besitze Ableitungen bis zur Ordnung n + 1 auf einem offenen Intervall I, das a enthält. Sei

das Taylorpolynom vom Grad n von f an der Stelle a. Dann gibt es für jedes x in I eine Zahl c zwischen a und x mit

Das ist die Lagrange-Form des Restglieds. Für a = 0 heißt das Polynom Maclaurin-Polynom.

Die Taylor-Ungleichung (die Fehlerabschätzung)

Die Stelle c kennst du fast nie, also schätzt du stattdessen die Ableitung ab. Gilt |f^{(n+1)}(t)| \le M für jedes t zwischen a und x, dann ist

Die Schranke wird schnell klein, weil (n+1)! schneller wächst als jede Potenz.

Was der Satz von Taylor bedeutet

Das Restglied sieht genau aus wie der nächste Term der Taylorreihe, nur dass die Ableitung an einer Stelle c statt an a ausgewertet wird. Für n = 0 lautet die Aussage f(x) = f(a) + f'(c)(x - a), und das ist der Mittelwertsatz. Der Satz von Taylor ist seine Version höherer Ordnung.

Warum die Voraussetzungen wichtig sind

Genügend Ableitungen. Die Restgliedformel verwendet f^{(n+1)}. Für f(x) = |x| bei a = 0 existiert f'(0) nicht, also gibt es nicht einmal ein Taylorpolynom vom Grad 1.

Ein Restglied, das nicht schrumpft. Der Satz von Taylor gilt immer, wenn seine Voraussetzungen erfüllt sind, aber er verspricht nicht, dass der Fehler gegen 0 geht. Die Funktion f(x) = e^{-1/x^2} (mit f(0) = 0) hat bei x = 0 lauter Ableitungen gleich 0, also ist jedes Taylorpolynom bei 0 das Nullpolynom. Das Restglied R_n(x) = f(x) schrumpft nie, und die Taylorreihe konvergiert gegen 0, nicht gegen f. Eine Funktion ist nur dann gleich ihrer Taylorreihe, wenn R_n(x) \to 0.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Nähere e mit P_4 an und schätze den Fehler ab.

Schritt 1. Für f(x) = e^x bei a = 0 ist jede Ableitung e^x und hat an der Stelle 0 den Wert 1. Also

Schritt 2. Auf [0, 1] gilt f^{(5)}(t) = e^t \le e < 3, also nimm M = 3.

Schritt 3. |R_4(1)| \le \frac{3}{5!}\cdot 1^5 = \frac{3}{120} = 0.025.

Der tatsächliche Fehler ist e - 2.70833 \approx 0.00995, also bequem innerhalb der Schranke.

Beispiel 2: \sin(0.1) mit hoher Genauigkeit.

Das Maclaurin-Polynom P_3(x) = x - \frac{x^3}{6} liefert \sin(0.1) \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} \approx 0.0998333. Da der Koeffizient von x^4 beim Sinus 0 ist, gilt P_4 = P_3, und wir dürfen R_4 verwenden. Jede Ableitung von \sin ist durch M = 1 beschränkt:

Also ist 0.0998333 auf mindestens sechs Nachkommastellen genau.

Beispiel 3: Wie viele Terme braucht man für e^{0.5} mit Genauigkeit 0.001?

Auf [0, 0.5] gilt e^t \le e^{0.5} < 2, also |R_n(0.5)| \le \frac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!}.

Die Schranke fällt erstmals bei n = 4 unter 0.001, also ist P_4(0.5) genau genug.

Häufige Fehler

1. (n)! statt (n+1)! verwenden. Das Restglied nach einem Polynom vom Grad n verwendet die (n+1)-te Ableitung und (n+1)!.
2. Die Ableitung nur an der Stelle a abschätzen. M muss |f^{(n+1)}| auf dem ganzen Intervall zwischen a und x beschränken.
3. Annehmen, die Taylorreihe sei immer gleich f. Das gilt nur, wenn das Restglied gegen 0 strebt.

Verwandte Sätze und Leitfäden

Der Satz von Taylor verallgemeinert den Mittelwertsatz. Wie man die Polynome und Reihen selbst aufstellt, findest du unter Taylorreihen und Potenzreihen. In mehreren Variablen verwendet die Taylorentwicklung zweiter Ordnung gemischte partielle Ableitungen, die man nach dem Satz von Schwarz in beliebiger Reihenfolge bilden darf.