Uni Bonn Analysis II (V1G2): Themen, Lernhilfe und Übungen

Analysis II (V1G2) ist an der Universität Bonn die zweite Analysis-Vorlesung im Bachelor Mathematik. Sie läuft jedes Sommersemester, bringt 9 Leistungspunkte und ist Pflicht im zweiten Semester. Im Bachelor Lehramt Mathematik kann sie im vierten Semester als Wahlpflichtmodul belegt werden. Nach der Analysis einer Variablen in Analysis I geht es jetzt um Funktionen mehrerer Variablen, um normierte Räume und um gewöhnliche Differentialgleichungen. Diese Lernhilfe ordnet die Themen aus dem Modulhandbuch den passenden Übungen auf PracticeCalculus zu.

Was Analysis II in Bonn abdeckt

Laut Modulhandbuch umfasst V1G2:

• Funktionen mehrerer reeller Variablen, ihre Stetigkeit und Differenzierbarkeit
• partielle Ableitungen und Gradient
• parameterabhängige Integrale
• den Satz über implizite Funktionen
• Normen, Abbildungen zwischen normierten Räumen und den Zusammenhang mit der Konvergenz von Funktionen
• Vollständigkeit und den Banachschen Fixpunktsatz
• gewöhnliche Differentialgleichungen, den Satz von Picard-Lindelöf und die Lösung linearer Gleichungen erster und zweiter Ordnung
• Vektorkalkül mit Divergenz, Rotation und Laplaceoperator

Optional nennt das Handbuch Wegintegrale, holomorphe Funktionen, den Cauchyschen Integralsatz und Untermannigfaltigkeiten als Anwendung des Satzes über implizite Funktionen. Als Lernziel steht neben dem Verständnis der mehrdimensionalen Analysis ausdrücklich die Fähigkeit, Anwendungsprobleme mathematisch zu formulieren.

Im amerikanischen System entspricht der Rechenteil von V1G2 vor allem Calculus 3 (partielle Ableitungen, Gradient, Extremwerte) sowie den Differentialgleichungen aus Calculus 2. Normierte Räume, Fixpunktsatz und Existenzsätze gehen weit darüber hinaus und gehören zur beweisorientierten Analysis.

Themenübersicht Analysis II

Für normierte Räume, Vollständigkeit, den Banachschen Fixpunktsatz, den Satz von Picard-Lindelöf, parameterabhängige Integrale, lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung und holomorphe Funktionen gibt es bei PracticeCalculus noch keine eigenen Lektionen. Die Lektion zum impliziten Ableiten behandelt nur den Rechenweg in einer Variablen, nicht den allgemeinen Satz über implizite Funktionen.

Die Analysis-Module in Bonn

Beispielaufgaben auf dem Niveau von V1G2

1. Gradient und Richtungsableitung. Für f(x,y) = x^2 y + e^{y} gilt

In Richtung v = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) ist die Richtungsableitung also 0 \cdot \frac{3}{5} + 2 \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{5}.

2. Lokale Extrema. Für f(x,y) = x^2 + 3y^2 - 2x ist \nabla f = (2x - 2,\, 6y), also ist (1,0) der einzige kritische Punkt. Die Hessematrix

ist positiv definit, daher liegt bei (1,0) ein lokales Minimum mit f(1,0) = -1.

3. Lineare Differentialgleichung. Die Gleichung y' = 2y mit y(0) = 3 hat die eindeutige Lösung

So läuft Analysis II in Bonn gut

• Lineare Algebra wiederholen. Ableitungen in mehreren Variablen sind lineare Abbildungen. Wer Matrizen, Determinanten und Definitheit sicher beherrscht, versteht die Hessematrix und den Satz über implizite Funktionen viel leichter.
• Rechnen trainieren. Partielle Ableitungen und Gradienten müssen in der Klausur schnell sitzen. Kurze Einheiten in Calculus 3 helfen dabei.
• Bilder im Kopf haben. Höhenlinien, Tangentialebenen und Vektorfelder machen viele Sätze anschaulich. Skizziere bei jeder Aufgabe, was passiert.
• Übungen regelmäßig abgeben. Die erfolgreiche Teilnahme an den Übungen ist Zulassungsvoraussetzung zur Klausur.
• Typische Fehler kennen. Die Liste der häufigsten Fehler zeigt, wo Punkte verloren gehen.

Tipp: Der Banachsche Fixpunktsatz ist das Werkzeug hinter dem Satz von Picard-Lindelöf und oft auch hinter dem Beweis des Umkehrsatzes. Wer ihn einmal richtig verstanden hat, erkennt das Muster in mehreren großen Beweisen von Analysis II wieder.