Uni Bonn Analysis III (V2B1): Themen, Lernhilfe und Übungen

Analysis III (V2B1) ist an der Universität Bonn die Einführungsvorlesung zur Integrationstheorie im Bereich B (Analysis und Differentialgleichungen). Sie läuft jedes Wintersemester, bringt 9 Leistungspunkte und ist für das dritte Semester des B.Sc. Mathematik vorgesehen. Auch im Bachelor und Master Lehramt Mathematik kann sie als Wahlpflichtmodul belegt werden. Der theoretische Kern ist die Maß- und Integrationstheorie nach Lebesgue. Die Rechentechniken dahinter, also Mehrfachintegrale, Koordinatenwechsel und Integralsätze, kannst du auf PracticeCalculus gezielt üben.

Was Analysis III in Bonn abdeckt

Laut Modulhandbuch geht es um Integrationstheorie und Anwendungen:

• das Lebesgue-Integral, insbesondere für das n-dimensionale Lebesgue-Maß, aber auch für Zählmaß und Dirac-Maß
• den Satz über monotone Konvergenz und das Majorantenkriterium
• den Satz von Fubini für das Lebesgue-Maß
• die Transformationsformel
• Faltung, Dirac-Folgen und L^p-Räume
• Untermannigfaltigkeiten des \mathbb{R}^n und Integration auf Untermannigfaltigkeiten
• den Gaußschen Satz im euklidischen Raum und den Stokesschen Satz im \mathbb{R}^3

Optional nennt das Handbuch Fourier-Transformation in L^1 und L^2, den Lebesgueschen Differentiationssatz, das Hausdorff-Maß und Differentialformen. Als Lernziel steht neben dem Verständnis des Lebesgue-Integrals ausdrücklich die Fähigkeit, mit speziellen Volumen- und Flächenintegralen umzugehen und deren Bedeutung in Anwendungen zu kennen.

Im amerikanischen System überschneidet sich V2B1 mit dem Integrationsteil von Calculus 3: Mehrfachintegrale, Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten, Oberflächenintegrale sowie die Sätze von Gauß und Stokes. Die Maßtheorie selbst geht weit über Calculus hinaus.

Themenübersicht Analysis III

Für die Konstruktion des Lebesgue-Maßes, die Konvergenzsätze, Faltung, Dirac-Folgen, L^p-Räume, Untermannigfaltigkeiten und die optionalen Themen gibt es bei PracticeCalculus keine Lektionen. Diese Teile sind reine Theorie und werden mit Skript und Übungsblättern erarbeitet. Unsere Lektionen decken den Rechenteil ab, der in Übungen und Klausur trotzdem viele Punkte bringt.

Die Analysis-Module in Bonn

Beispielaufgaben auf dem Niveau von V2B1

1. Transformationsformel in Polarkoordinaten. Mit x = r\cos\varphi, y = r\sin\varphi und Funktionaldeterminante r gilt

Mit Fubini folgt daraus \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}.

2. Volumen der Einheitskugel. In Kugelkoordinaten ist die Funktionaldeterminante r^2 \sin\theta, also

3. Gaußscher Satz. Für F(x,y,z) = (x, y, z) ist \operatorname{div} F = 3. Der Fluss durch die Oberfläche der Einheitskugel ist daher

So läuft Analysis III in Bonn gut

• Rechentechnik vorher sichern. Wer Mehrfachintegrale und Koordinatenwechsel noch nicht sicher rechnet, sollte das vor Semesterbeginn mit Lektionen wie Variablenwechsel nachholen.
• Konvergenzsätze sauber anwenden. Prüfe vor jedem Vertauschen von Grenzwert und Integral, welche Voraussetzung du nutzt: monotone Konvergenz oder eine integrierbare Majorante.
• Beispiele sammeln. Zählmaß und Dirac-Maß zeigen, wie allgemein der Integralbegriff ist. Rechne mit ihnen kleine Beispiele durch.
• Übungen regelmäßig abgeben. Ohne erfolgreiche Teilnahme an den Übungen gibt es keine Klausurzulassung.
• Prüfung planen. Unsere Anleitung zur Prüfungsvorbereitung hilft, die letzten Wochen gut einzuteilen.

Tipp: Der Satz von Gauß ist der rote Faden vieler Anwendungen in Physik und partiellen Differentialgleichungen. Wenn du das Beispiel mit \operatorname{div} F oben selbst nachrechnest, hast du die Kernidee schon verstanden.