Uni Wien Analysis 3 (AN3): Themen, Lernhilfe und Übungen

Analysis 3 (AN3) ist an der Universität Wien das Analysis-Modul für Fortgeschrittene im Bachelor Mathematik. Es gehört zur Wahlmodulgruppe Foundation und besteht aus der VO Analysis 3 und dem PS Analysis 3, zusammen 10 ECTS. Diese Lernhilfe zeigt, welche Teile des Stoffs du auf PracticeCalculus rechnerisch vorbereiten kannst und welche reine Theorie für VO und PS bleiben.

Was Analysis 3 abdeckt

Laut Modulziel beherrschen Absolvent*innen geometrische und topologische Aspekte der Analysis und bekommen einen ersten Einblick in die Differentialgeometrie. Das Curriculum nennt dafür:

• Teilmannigfaltigkeiten des \mathbb{R}^n, auch mit Rand
• Tangentialräume und Richtungsableitungen
• Partitionen der Eins
• Multilinearformen und Hackprodukt, in Deutschland meist Dachprodukt genannt
• Differentialformen und ihre Integration, äußere Ableitung
• Satz von Stokes und Vektoranalysis
• Lemma von Poincaré
• Windungszahl und Homotopie, Brouwerscher Fixpunktsatz, Satz vom Igel
• weitere vertiefende Inhalte, zum Beispiel Geometrie von Kurven und Flächen

Teilnahmevoraussetzung ist die StEOP. Empfohlen werden EHM, Analysis 2, Lineare Algebra 2 sowie Topologie und Funktionalanalysis. Die VO ist nicht prüfungsimmanent und endet mit einer Prüfung, das PS ist prüfungsimmanent.

Im amerikanischen System entspricht nur ein Teil davon dem Ende von Calculus 3: Kurven- und Flächenintegrale, Rotation, Divergenz und die Integralsätze. Der Weg dorthin ist in Wien aber ein anderer. Statt Formeln für Fluss und Zirkulation steht die Sprache der Differentialformen im Mittelpunkt, und der allgemeine Satz von Stokes

fasst Hauptsatz, Green, Gauß und den klassischen Stokes in einer Formel zusammen.

Themenübersicht AN3

Ganz offen: Mannigfaltigkeiten mit Rand, Partitionen der Eins, der formale Kalkül der Differentialformen, Windungszahl und Homotopie, der Brouwersche Fixpunktsatz und der Satz vom Igel haben auf PracticeCalculus keine eigenen Lektionen. Diese Themen leben von Beweisen. Was wir anbieten, ist die rechnerische Seite, die jeder dieser Begriffe verallgemeinert: Gradienten, Kurven- und Flächenintegrale und die klassischen Integralsätze.

Die Analysis-Module an der Uni Wien

Neben AN3 gibt es in der Wahlmodulgruppe Foundation auch Komplexe und Harmonische Analysis sowie Topologie und Funktionalanalysis. Welche Kombination sinnvoll ist, hängt vom geplanten Schwerpunkt ab. Das Curriculum gibt dafür Empfehlungen.

Beispielaufgaben auf dem Niveau von AN3

1. Lemma von Poincaré in der Ebene. Die 1-Form \omega = y\,dx + x\,dy ist geschlossen, denn

Auf dem ganzen \mathbb{R}^2 ist sie daher exakt, und tatsächlich gilt \omega = d(xy).

2. Satz von Green. Für den Einheitskreis \gamma gegen den Uhrzeigersinn und \omega = -y\,dx + x\,dy gilt

3. Divergenz. Für F(x, y, z) = (x, y, z) ist \operatorname{div} F = 3, also fließt durch die Einheitssphäre der Fluss

So läuft Analysis 3 gut

• Klassische Sätze zuerst rechnen. Wer Green, Gauß und Stokes als Rechenwerkzeuge sicher beherrscht, erkennt sie im abstrakten Satz von Stokes sofort wieder. Die Einheit Vektoranalysis ist dafür eine gute Vorbereitung.
• Hackprodukt mechanisch üben. Rechenregeln wie dx \wedge dx = 0 und dx \wedge dy = -dy \wedge dx sollten so selbstverständlich werden wie die Ableitungsregeln.
• Beispiele sammeln. Die Form \frac{-y\,dx + x\,dy}{x^2 + y^2} auf \mathbb{R}^2 \setminus \{0\} ist geschlossen, aber nicht exakt. Solche Gegenbeispiele machen die Voraussetzungen der Sätze verständlich.
• Regelmäßig im PS mitarbeiten. Das PS ist prüfungsimmanent, die Mitarbeit während des Semesters zählt also mit.

Tipp: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist der Satz von Stokes in Dimension eins: \int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a). Mit diesem Bild im Kopf wirkt die allgemeine Version viel weniger fremd.