Uni Wien Analysis 1 (EHM): Themen, Lernhilfe und Übungen

Analysis 1 ist an der Universität Wien die erste Analysis-Vorlesung im Bachelor Mathematik. Sie gehört zum Pflichtmodul Einführung in die Höhere Mathematik (EHM), das mit 12 ECTS im ersten Semester liegt. Diese Lernhilfe ordnet die Analysis-Themen aus dem Curriculum den passenden Übungen auf PracticeCalculus zu. Die Beweise lernst du in Vorlesung und Proseminar, die Rechentechniken dahinter kannst du hier mit sofortiger Rückmeldung trainieren.

Wie das erste Semester aufgebaut ist

Das Curriculum (Version 2021) teilt das erste Semester in zwei Hälften. In den ersten sieben Wochen läuft die StEOP mit der VO und UE Einführung in das mathematische Arbeiten (zusammen 16 ECTS). Dort geht es um mathematische Sprache und Beweismethoden, Mengen und Abbildungen, die Zahlenbereiche von \mathbb{N} bis \mathbb{C} und auch schon um die Konvergenz von Folgen und Reihen, den Grenzwertbegriff, Cauchy-Folgen und Vollständigkeit.

Danach folgt das Modul EHM mit drei Lehrveranstaltungen:

• VO Analysis 1, 4 ECTS, 3 SSt, nicht prüfungsimmanent
• VO Lineare Algebra 1, 4 ECTS, 3 SSt, nicht prüfungsimmanent
• PS Analysis und Lineare Algebra 1, 4 ECTS, 2 SSt, prüfungsimmanent

Eine Teilnahmevoraussetzung nennt das Curriculum für EHM nicht. Abgeschlossen ist das Modul mit dem positiven Abschluss aller drei Lehrveranstaltungen.

Was Analysis 1 abdeckt

Für die Differential- und Integralrechnung nennt das Curriculum folgende Kompetenzen:

• Stetigkeit
• elementare transzendente Funktionen, also Exponentialfunktion, Logarithmus und Winkelfunktionen
• Differenzierbarkeit
• Riemann-Darboux-Integration
• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
• Satz von Taylor in einer Variablen
• weitere vertiefende Inhalte

Im amerikanischen System entspricht das dem Stoff von Calculus 1, ergänzt um Taylorpolynome aus Calculus 2. Der große Unterschied liegt im Anspruch: In Wien wird jedes Resultat bewiesen, und die Integration wird über Ober- und Untersummen nach Darboux aufgebaut, nicht nur als Fläche unter einer Kurve.

Themenübersicht Analysis 1

Die Konstruktion der reellen Zahlen und die Vollständigkeit werden in der StEOP mit Beweisen behandelt. Dafür gibt es auf PracticeCalculus keine eigene Lektion, weil sich solche Beweise schlecht als kurze Rechenaufgabe üben lassen.

Die Analysis-Module an der Uni Wien

Analysis 2 ist ein Pflichtmodul im zweiten Semester. Analysis 3 gehört zu den Foundation-Modulen, aus denen im vierten und fünften Semester gewählt wird.

Beispielaufgaben auf dem Niveau von Analysis 1

1. Stetigkeit prüfen. Für f(x) = \frac{\sin x}{x} mit x \neq 0 und f(0) = 1 gilt

also ist f auch in 0 stetig.

2. Hauptsatz. Für F(x) = \int_1^{x^2} \ln t \, dt liefert die Kettenregel

3. Taylorpolynom. Das Taylorpolynom zweiten Grades von e^x um 0 ist

und für x = 0{,}1 liefert es 1{,}105, sehr nahe an e^{0{,}1} \approx 1{,}10517.

So läuft Analysis 1 gut

• Das Proseminar ernst nehmen. Das PS ist prüfungsimmanent, es zählt also die Arbeit während des Semesters. Wer die Beispiele jede Woche selbst rechnet, statt sie nur abzuschreiben, ist klar im Vorteil.
• Rechentechnik früh automatisieren. Je sicherer du Ableitungsregeln und Integrale beherrschst, desto mehr Zeit bleibt für die Beweise. Kurze tägliche Einheiten auf PracticeCalculus helfen dabei.
• Definitionen auswendig können. Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit tauchen in jeder Prüfung auf. Lerne zu jeder Definition ein Beispiel und ein Gegenbeispiel.
• Formeln sammeln. Unser Formelblatt ist eine gute Grundlage für die eigene Übersicht.

Tipp: Die Funktion |x| ist das klassische Beispiel für eine stetige, aber in 0 nicht differenzierbare Funktion. Wer sie sicher erklären kann, hat den Unterschied zwischen den beiden Begriffen verstanden.