Uni Wien Analysis 2 (AN2): Themen, Lernhilfe und Übungen

Analysis 2 (AN2) ist an der Universität Wien das zweite Analysis-Modul im Bachelor Mathematik. Es besteht aus der VO Analysis 2 und dem PS Analysis 2, zusammen 10 ECTS, und liegt laut Studienplan im zweiten Semester. Diese Lernhilfe ordnet die Themen aus dem Curriculum den passenden Übungen auf PracticeCalculus zu, damit du die Rechentechniken neben der Theorie gezielt trainieren kannst.

Was Analysis 2 abdeckt

Laut Modulziel beherrschen Absolvent*innen grundlegende topologische Konzepte der Analysis, die Erweiterung des Differenzierbarkeitsbegriffs auf mehrere Variablen sowie erste Konzepte aus Differentialgeometrie und gewöhnlichen Differentialgleichungen. Das Curriculum nennt im Detail:

• Funktionenfolgen und Funktionenreihen: punktweise und gleichmäßige Konvergenz, Satz von Weierstraß, Potenzreihen
• metrische und normierte Räume: offene und abgeschlossene Mengen, Konvergenz, Stetigkeit, Vollständigkeit, Banachscher Fixpunktsatz, Kompaktheit, Satz von Heine-Borel
• Differenzierbarkeit in mehreren Variablen: partielle Ableitungen, Differenzierbarkeit, Satz von Taylor in mehreren Variablen
• Parameterintegrale
• lokale Extrema mit und ohne Nebenbedingungen
• Satz über implizite Funktionen und Satz über inverse Funktionen, Untermannigfaltigkeiten des \mathbb{R}^n
• Kurvenintegrale: Wege und Kurven, Stammfunktionen, Integrabilitätsbedingungen
• gewöhnliche Differentialgleichungen: Anfangswertprobleme, Satz von Picard-Lindelöf, Picard-Iteration

Die VO ist nicht prüfungsimmanent und wird mit einer Prüfung abgeschlossen, das PS ist prüfungsimmanent. Nach Vorabgenehmigung durch die Studienprogrammleitung kann statt des PS das KU Konversatorium Analysis für Fortgeschrittene (4 ECTS) absolviert werden.

Im amerikanischen System verteilt sich dieser Stoff auf Calculus 2 (Potenzreihen, erste Differentialgleichungen) und Calculus 3 (mehrere Variablen, Kurvenintegrale). Dazu kommt mit metrischen Räumen und den Sätzen über implizite Funktionen viel Theorie, die in amerikanischen Calculus-Kursen gar nicht vorkommt.

Themenübersicht AN2

Ehrlich gesagt: Für metrische und normierte Räume, Kompaktheit, den Banachschen Fixpunktsatz, gleichmäßige Konvergenz, Parameterintegrale, Untermannigfaltigkeiten und den Satz von Picard-Lindelöf gibt es auf PracticeCalculus noch keine eigenen Lektionen. Diese Themen sind vor allem Beweisarbeit und gehören in VO und PS. Die Lektion zum Eulerverfahren (Euler-Verfahren) ist aber ein guter Einstieg, um die Idee hinter der Picard-Iteration zu sehen: Man nähert eine Lösung Schritt für Schritt an.

Die Analysis-Module an der Uni Wien

Die Integration in mehreren Variablen nach Lebesgue steckt übrigens nicht in AN2, sondern im Pflichtmodul Integration und Stochastik im dritten Semester.

Beispielaufgaben auf dem Niveau von AN2

1. Extremum mit Nebenbedingung. Maximiere f(x, y) = xy unter x + y = 10. Mit \nabla f = \lambda \nabla g folgt y = \lambda und x = \lambda, also x = y = 5 und

2. Kurvenintegral. Für F(x, y) = (2xy, x^2) ist F = \nabla(x^2 y), das Feld hat also eine Stammfunktion. Längs jedes Weges von (0, 0) nach (1, 2) gilt

3. Anfangswertproblem. Für y' = xy mit y(0) = 1 liefert Trennung der Variablen

So läuft Analysis 2 gut

• Rechnen und Beweisen trennen. Die Rechentechnik bei partiellen Ableitungen und Extrema sollte so sicher sitzen, dass du dich im PS auf die Beweise konzentrieren kannst. Kurze Einheiten auf PracticeCalculus helfen dabei.
• Bilder zeichnen. Offene Mengen, Kompaktheit und Höhenlinien werden mit einer Skizze sofort greifbarer.
• Kriterien für Stammfunktionen kennen. Ob ein Vektorfeld eine Stammfunktion hat, ist eine typische Prüfungsfrage. Die Lektion zu konservativen Feldern übt genau das.
• Fehlerquellen kennen. Die Liste der häufigsten Fehler hilft, Punkte in der Prüfung nicht zu verschenken.

Tipp: Bei Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung zuerst prüfen, ob sich die Nebenbedingung nach einer Variablen auflösen lässt. Dann wird aus der Aufgabe oft ein einfaches Problem in einer Variablen.