Leibniz-Kriterium: Voraussetzungen, Fehlerabschätzung, Beispiele

Das Leibniz-Kriterium ist für Reihen gedacht, deren Glieder das Vorzeichen wechseln, etwa 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots. Werden die Beträge der Glieder stetig kleiner und gehen gegen null, dann pendeln die Partialsummen immer enger um einen Grenzwert, und die Reihe konvergiert.

Das Kriterium

Sei b_n > 0 für alle n. Die Reihe

konvergiert, wenn beide Bedingungen gelten:

1. b_{n+1} \le b_n für alle n (oder für alle n ab einem gewissen Index), und
2. \lim_{n\to\infty} b_n = 0.

Dasselbe gilt für \sum (-1)^n b_n, bei der nur jedes Vorzeichen umgedreht ist.

Die Fehlerabschätzung

Sind die Bedingungen erfüllt und ist S der Reihenwert, so liegt die Partialsumme S_N höchstens ein Glied vom wahren Wert entfernt:

Außerdem liegt S zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Partialsummen. Das ist die Fehlerabschätzung für alternierende Reihen, und sie macht es leicht, solche Reihen näherungsweise zu berechnen.

Warum es funktioniert

Weil die b_n fallen, schießt jeder Schritt weniger über das Ziel hinaus als der vorige. Die geraden Partialsummen S_2, S_4, S_6, \ldots wachsen, die ungeraden S_1, S_3, S_5, \ldots fallen, und jede gerade Summe bleibt unter jeder ungeraden. Beide Folgen sind beschränkt und monoton, also konvergieren sie, und wegen S_{2k+1} - S_{2k} = b_{2k+1} \to 0 haben sie denselben Grenzwert.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: die alternierende harmonische Reihe. Bei \sum \frac{(-1)^{n+1}}{n} ist b_n = \frac{1}{n} positiv, monoton fallend und geht gegen 0. Die Reihe konvergiert (gegen \ln 2). Da \sum \frac{1}{n} divergiert, ist die Konvergenz bedingt.

Beispiel 2: die Grenzwertbedingung ist verletzt. Bei \sum (-1)^n \frac{n}{n+1} gilt b_n = \frac{n}{n+1} \to 1 \ne 0. Das Leibniz-Kriterium ist nicht anwendbar, und das Nullfolgenkriterium zeigt, dass die Reihe divergiert.

Beispiel 3: Monotonie mit der Ableitung prüfen. Bei \sum (-1)^{n+1}\frac{\ln n}{n} (Start bei n = 2) sei f(x) = \frac{\ln x}{x}. Dann ist f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} < 0 für x > e, also fällt b_n für n \ge 3, und \frac{\ln n}{n} \to 0. Die Reihe konvergiert.

Beispiel 4: einen Reihenwert abschätzen. Die Reihe \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n!} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} + \cdots erfüllt das Kriterium. Vier Glieder ergeben

mit einem Fehler von höchstens b_5 = \frac{1}{120} \approx 0.0083. Der wahre Wert ist 1 - \frac{1}{e} \approx 0.6321, der tatsächliche Fehler also etwa 0.0071.

Absolute und bedingte Konvergenz

Das Kriterium beweist Konvergenz, sagt aber nichts über absolute Konvergenz aus. Prüfe \sum b_n getrennt:

Das Quotientenkriterium liefert bei allen dreien L = 1 und kann keine davon entscheiden.

Häufige Fehler

1. Mit dem Kriterium Divergenz beweisen wollen. Ist die Monotonie verletzt, folgt daraus keine Divergenz. Nur b_n \not\to 0 zeigt Divergenz, und das ist das Nullfolgenkriterium.
2. Das Vorzeichen in b_n mitnehmen. b_n ist der positive Betrag des Glieds, ohne den Faktor (-1)^n.
3. Die Monotonie nicht prüfen. Sie ist meistens erfüllt, muss aber nachgewiesen werden, manchmal mit einer Ableitung.
4. Eine Reihe absolut konvergent nennen, nur weil sie dieses Kriterium erfüllt.

Einen Vergleich aller Konvergenzkriterien und wie du das passende auswählst, findest du im ausführlichen Leitfaden zu Konvergenzkriterien.