Nullfolgenkriterium (Trivialkriterium): Aussage und Beispiele
Das Nullfolgenkriterium: Bilden die Glieder einer Reihe keine Nullfolge, so divergiert die Reihe. Aussage, warum es keine Konvergenz zeigt, und Beispiele.
Regeln für Reihen Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Auch genannt
- Trivialkriterium, Divergenzkriterium
- Kann zeigen
- Nur Divergenz
- Kann nicht zeigen
- Konvergenz. Gilt a_n \to 0, liefert das Kriterium keine Aussage
- Klassisches Beispiel
- \sum \frac{1}{n} hat a_n \to 0 und divergiert trotzdem
- Anwendung
- Als Erstes, vor jedem anderen Konvergenzkriterium
Auf dieser Seite
Das Nullfolgenkriterium (auch Trivialkriterium) ist der schnellste Test bei Reihen. Eine Reihe kann nur dann einen endlichen Wert haben, wenn ihre Glieder gegen null gehen. Tun sie das nicht, divergiert die Reihe.
Die Aussage
Für jede Reihe \sum a_n gilt:
Gleichwertig ist die folgende notwendige Bedingung für Konvergenz:
Die Umkehrung ist falsch. Dass die Glieder gegen null gehen, ist notwendig, aber nicht hinreichend.
Warum es funktioniert
Sei S_n die n-te Partialsumme. Dann ist a_n = S_n - S_{n-1}. Konvergiert die Reihe gegen S, so gehen sowohl S_n als auch S_{n-1} gegen S, also
Das Ergebnis deuten
| Wert von \lim a_n | Folgerung |
|---|---|
| Eine Zahl ungleich null | Divergiert |
| \pm\infty | Divergiert |
| Existiert nicht | Divergiert |
| 0 | Keine Aussage: anderes Kriterium verwenden |
Rechenbeispiele
Beispiel 1: ein Bruchterm. Für \sum \frac{n}{2n+1} gilt:
Die Reihe divergiert. Du addierst unendlich oft Zahlen nahe \frac{1}{2}.
Beispiel 2: oszillierende Glieder. Bei \sum (-1)^n wechseln die Glieder zwischen 1 und -1, also existiert \lim a_n nicht. Die Reihe divergiert.
Beispiel 3: ein trigonometrisches Glied. Bei \sum \cos\left(\frac{1}{n}\right) gilt \frac{1}{n} \to 0 und \cos 0 = 1, also a_n \to 1. Die Reihe divergiert.
Beispiel 4: ein berühmter Grenzwert. Bei \sum \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n gehen die Glieder gegen e \ne 0. Die Reihe divergiert.
Beispiel 5: keine Aussage. Bei \sum \frac{1}{n^2} und \sum \frac{1}{n} gehen die Glieder in beiden Fällen gegen 0. Das Kriterium sagt nichts. Tatsächlich konvergiert \sum \frac{1}{n^2} und \sum \frac{1}{n} divergiert, was andere Kriterien (das Integralkriterium oder die Regel für p-Reihen) zeigen.
Divergenz und Konvergenz auf einen Blick
Stell dir das Kriterium als Tor vor. Jede konvergente Reihe kommt hindurch, weil ihre Glieder gegen null gehen müssen. Viele divergente Reihen scheitern am Tor, aber manche, wie die harmonische Reihe, schlüpfen durch und zeigen ihre Divergenz erst bei einem stärkeren Kriterium. Ein nicht bestandener Test ist also eine endgültige Antwort, ein bestandener bedeutet nur, dass die eigentliche Arbeit noch vor dir liegt. Diese Einbahnstraßen-Logik ist das Wichtigste, was du dir über das Kriterium merken solltest.
Häufige Fehler
- Aus a_n \to 0 auf Konvergenz schließen. Das ist der häufigste Fehler bei Reihen. Die harmonische Reihe ist das Gegenbeispiel.
- Den Grenzwert der Partialsummen statt der Glieder bilden. Das Kriterium verwendet a_n, die einzelnen Glieder.
- Den Fall "existiert nicht" vergessen. Oszillierende Glieder wie (-1)^n oder \sin n gehen ebenfalls nicht gegen 0.
- Es überspringen. Das Quotientenkriterium liefert bei \sum \frac{n}{2n+1} den Grenzwert 1 und damit keine Antwort, während das Nullfolgenkriterium die Frage sofort klärt.
Wo es hingehört
Nimm das Nullfolgenkriterium als ersten Schritt bei jeder Reihe. Gehen die Glieder tatsächlich gegen null, mach weiter: Versuche die Formel der geometrischen Reihe bei konstantem Quotienten, das Leibniz-Kriterium bei wechselnden Vorzeichen und das Quotientenkriterium bei Fakultäten und Exponentialausdrücken. Der ausführliche Leitfaden zu Konvergenzkriterien zeigt, wie du zwischen ihnen wählst.
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