Quotientenkriterium für Reihen: Formel, Bedingungen, Beispiele

Das Quotientenkriterium entscheidet über die Konvergenz einer Reihe, indem es fragt, wie schnell ihre Glieder kleiner werden. Ist jedes Glied auf lange Sicht um einen festen Faktor kleiner als das vorige, verhält sich die Reihe wie eine konvergente geometrische Reihe.

Das Quotientenkriterium

Sei \sum a_n eine Reihe mit Gliedern ungleich null (zumindest für große n), und sei

Existiert der Grenzwert nicht und ist er auch nicht \infty, ist das Kriterium in dieser Form nicht anwendbar.

Warum es funktioniert

Ist L < 1, wähle eine Zahl r mit L < r < 1. Für große n ist jedes \lvert a_{n+1}\rvert höchstens r\lvert a_n\rvert, der Rest von \sum \lvert a_n\rvert ist also durch eine geometrische Reihe mit Quotient r beschränkt, die konvergiert. Ist L > 1, werden die Glieder dem Betrag nach irgendwann größer, können also nicht gegen 0 gehen, und das Nullfolgenkriterium liefert Divergenz.

So wendest du es an

1. Schreibe a_{n+1} auf, indem du jedes n in a_n durch n + 1 ersetzt.
2. Bilde \frac{a_{n+1}}{a_n} und vereinfache. Multipliziere mit dem Kehrbruch des Nenners.
3. Kürze mit \frac{(n+1)!}{n!} = n + 1 und \frac{c^{n+1}}{c^n} = c.
4. Bilde den Grenzwert des Betrags und vergleiche mit 1.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: eine Potenz mal eine Exponentialfunktion. Für \sum \frac{n}{2^n}:

Wegen L = \frac{1}{2} < 1 konvergiert die Reihe.

Beispiel 2: eine Fakultät. Für \sum \frac{3^n}{n!}:

L = 0 < 1, also konvergiert sie. (Ihr Wert ist e^3 - 1, wenn sie bei n = 1 beginnt.)

Beispiel 3: Divergenz. Für \sum \frac{n!}{10^n}:

Die Reihe divergiert. Die Fakultät schlägt auf Dauer jede Exponentialfunktion.

Beispiel 4: wechselnde Vorzeichen. Bei \sum \frac{(-2)^n}{n^2} entfernt der Betrag das Vorzeichen:

L = 2 > 1, also divergiert die Reihe.

Beispiel 5: keine Aussage. Bei \sum \frac{1}{n^2} gilt \frac{n^2}{(n+1)^2} \to 1. Das Quotientenkriterium liefert keine Antwort, obwohl die Reihe als p-Reihe mit p = 2 konvergiert.

Konvergenzradius

Das Quotientenkriterium ist das wichtigste Werkzeug für Potenzreihen. Für \sum \frac{x^n}{n}:

Die Reihe konvergiert für \lvert x\rvert < 1, der Konvergenzradius ist also 1. Die Randpunkte x = \pm 1 ergeben L = 1 und müssen getrennt untersucht werden.

Quotientenkriterium und Wurzelkriterium

Das Wurzelkriterium verwendet L = \lim \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} mit denselben drei Fällen. Es ist einfacher, wenn das ganze Glied hoch n steht, wie bei \sum \left(\frac{2n}{3n+1}\right)^n, wo \sqrt[n]{a_n} = \frac{2n}{3n+1} \to \frac{2}{3} gilt. Das Quotientenkriterium ist einfacher, wenn Fakultäten vorkommen, denn Fakultäten haben keine saubere n-te Wurzel, kürzen sich in einem Quotienten aber schön weg. Sind beide anwendbar, liefern sie dasselbe L.

Häufige Fehler

1. Es bei gebrochenrationalen Ausdrücken oder Wurzelausdrücken in n verwenden. Etwas wie \frac{n^2+1}{n^4} ergibt L = 1. Nimm stattdessen ein Vergleichskriterium oder die Regel für p-Reihen.
2. L = 1 als Konvergenz oder Divergenz deuten. Es bedeutet, dass das Kriterium versagt hat.
3. Den Quotienten umdrehen. Es ist \frac{a_{n+1}}{a_n}, das nächste Glied geteilt durch das aktuelle. Der umgekehrte Quotient vertauscht die Bedeutung des Ergebnisses.
4. Bei Fakultäten falsch rechnen. (2(n+1))! = (2n+2)!, also (2n+2)(2n+1)\cdot(2n)!, nicht 2(n+1)!.

Wie das Quotientenkriterium mit Wurzel-, Vergleichs- und Integralkriterium zusammenspielt, erfährst du im ausführlichen Leitfaden zu Konvergenzkriterien.