Regeln für Reihen

Geometrische Reihe \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^n = \frac{a}{1 - r}, \quad \lvert r\rvert < 1 Die Formel der geometrischen Reihe: a + ar + ar² + ... = a/(1 − r) für |r| < 1. Partialsummen, die Konvergenzbedingung und Rechenbeispiele. Nullfolgenkriterium \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Longrightarrow\; \sum a_n \text{ divergiert} Das Nullfolgenkriterium: Bilden die Glieder einer Reihe keine Nullfolge, so divergiert die Reihe. Aussage, warum es keine Konvergenz zeigt, und Beispiele. Quotientenkriterium L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\rvert Das Quotientenkriterium: Berechne L = lim |a(n+1)/a(n)|. Für L < 1 konvergiert die Reihe absolut, für L > 1 divergiert sie, L = 1 liefert keine Aussage. Leibniz-Kriterium b_n \ge b_{n+1} > 0,\ \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \;\Longrightarrow\; \sum (-1)^{n+1} b_n \text{ konvergiert} Das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen: Fällt bₙ monoton gegen 0, so konvergiert die Reihe über (−1)ⁿbₙ. Voraussetzungen, Fehlerschranke und Beispiele.