Linéarité de l'intégrale : somme, différence et constante
La linéarité de l'intégrale : on intègre une somme terme à terme et on sort les constantes. Formules, exemples et erreurs à éviter avec produits et quotients.
Règles d'intégration Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- Règle de la somme
- \int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx
- Règle de la différence
- \int (f - g)\,dx = \int f\,dx - \int g\,dx
- Produit par une constante
- \int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx pour toute constante k
- Ne s'applique pas à
- Les produits et les quotients : \int f g\,dx \ne \int f\,dx \cdot \int g\,dx
- Valable pour
- Les intégrales indéfinies comme les intégrales définies
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La linéarité de l'intégrale signifie que l'intégration respecte l'addition et la multiplication par une constante. On peut séparer une somme en plusieurs intégrales et sortir les facteurs constants du signe intégrale. Avec la primitive d'une puissance, ces règles permettent d'intégrer n'importe quel polynôme en une ligne.
Les règles de linéarité
Pour des fonctions intégrables f et g et des constantes a et b :
Cet unique énoncé contient trois règles :
- Règle de la somme : \int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx
- Règle de la différence : \int (f - g)\,dx = \int f\,dx - \int g\,dx
- Produit par une constante : \int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx
Les mêmes règles valent pour les intégrales définies sur un même intervalle :
Pourquoi la linéarité fonctionne
La dérivation est linéaire : \frac{d}{dx}[aF + bG] = aF' + bG'. Si F' = f et G' = g, alors aF + bG est une primitive de af + bg, ce qui est exactement la règle. Pour les intégrales définies, la raison est encore plus visuelle : une somme de Riemann de f + g est la somme des sommes de Riemann de f et de g, et dilater une courbe d'un facteur k dilate chaque rectangle, et donc l'aire, du même facteur k.
![Aire sous y = 2x² comparée à l'aire sous y = x² sur [0, 2]](https://practicecalculus.com/fr/regles/linearite-de-l-integrale/graphs/0.svg)
Exemples corrigés
Exemple 1 : un polynôme. On sépare, on sort les constantes, puis on applique la primitive d'une puissance à chaque morceau :
Exemple 2 : des fonctions de types différents. La linéarité permet de combiner des règles de familles différentes :
Exemple 3 : séparer d'abord un quotient. Il n'existe pas de règle du quotient pour les intégrales, mais on peut diviser chaque terme par le dénominateur :
Exemple 4 : une intégrale définie. À partir des valeurs connues \int_0^1 f(x)\,dx = 4 et \int_0^1 g(x)\,dx = -1 :
Ce que la linéarité ne permet pas
La linéarité ne concerne que les sommes et les produits par une constante. Les égalités suivantes sont toutes fausses en général :
| Tentant mais faux | Pourquoi |
|---|---|
| \int f g\,dx = \int f\,dx \cdot \int g\,dx | Pas de règle du produit pour les intégrales |
| \int \frac{f}{g}\,dx = \frac{\int f\,dx}{\int g\,dx} | Pas de règle du quotient pour les intégrales |
| \int x\,f(x)\,dx = x\int f(x)\,dx | x n'est pas une constante |
| \int \frac{1}{f(x)}\,dx = \frac{1}{\int f(x)\,dx} | L'inverse ne passe pas à travers l'intégrale |
Quand l'intégrande est un produit, essayez de le développer, puis pensez au changement de variable ou à l'intégration par parties.
Erreurs fréquentes
- Sortir la variable de l'intégrale. Seules les constantes peuvent sortir. Dans \int 3x\sin x\,dx, on peut sortir le 3, pas le x.
- Intégrer un produit facteur par facteur. \int x(x^2+1)\,dx doit être développée en \int (x^3 + x)\,dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C.
- Séparer un dénominateur. \frac{1}{x + 1} \ne \frac{1}{x} + 1. On peut séparer une fraction selon les termes du numérateur, jamais du dénominateur.
- Perdre un signe dans une différence. Distribuez le signe moins sur chaque terme de la seconde intégrale.
Les règles équivalentes pour les dérivées sont la règle du produit par une constante et la dérivée d'une somme. Pour vous entraîner davantage à combiner ces règles, consultez le guide des primitives.
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