Linealidad de la integral: suma, diferencia y múltiplo constante
La linealidad de la integral: integra las sumas término a término y saca las constantes fuera. Fórmulas, ejemplos y errores con productos y cocientes.
Reglas de integración Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Regla de la suma
- \int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx
- Regla de la diferencia
- \int (f - g)\,dx = \int f\,dx - \int g\,dx
- Regla del múltiplo constante
- \int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx para cualquier constante k
- No se aplica a
- Productos y cocientes: \int f g\,dx \ne \int f\,dx \cdot \int g\,dx
- Se cumple para
- Integrales indefinidas y definidas
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Las reglas de linealidad dicen que la integración respeta la suma y la multiplicación por constantes. Puedes separar una suma en integrales distintas y sacar los factores constantes fuera del signo de integral. Junto con la regla de la potencia para integrales, te permiten integrar cualquier polinomio en una sola línea.
Las reglas de linealidad
Para funciones integrables f y g y constantes a y b:
Este único enunciado contiene tres reglas:
- Regla de la suma: \int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx
- Regla de la diferencia: \int (f - g)\,dx = \int f\,dx - \int g\,dx
- Regla del múltiplo constante: \int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx
Las mismas reglas se cumplen para integrales definidas sobre el mismo intervalo:
Por qué funciona la linealidad
La derivación es lineal: \frac{d}{dx}[aF + bG] = aF' + bG'. Si F' = f y G' = g, entonces aF + bG es una antiderivada (primitiva) de af + bg, que es exactamente la regla. Para las integrales definidas la razón es todavía más visual: una suma de Riemann de f + g es la suma de las sumas de Riemann de f y de g, y estirar una gráfica por un factor k estira cada rectángulo, y por tanto el área, por k.
![Área bajo y = 2x² comparada con el área bajo y = x² en [0, 2]](https://practicecalculus.com/es/reglas/linealidad-de-la-integral/graphs/0.svg)
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: un polinomio. Separa, saca las constantes y aplica la regla de la potencia a cada término:
Ejemplo 2: funciones de distintos tipos. La linealidad te permite combinar reglas de familias distintas:
Ejemplo 3: separa primero un cociente. No hay regla del cociente para integrales, pero puedes dividir cada término entre el denominador:
Ejemplo 4: una integral definida. Con los valores conocidos \int_0^1 f(x)\,dx = 4 y \int_0^1 g(x)\,dx = -1:
Lo que la linealidad no permite
La linealidad solo abarca sumas y múltiplos constantes. Todas estas igualdades son falsas en general:
| Tentador pero incorrecto | Por qué |
|---|---|
| \int f g\,dx = \int f\,dx \cdot \int g\,dx | No hay regla del producto para integrales |
| \int \frac{f}{g}\,dx = \frac{\int f\,dx}{\int g\,dx} | No hay regla del cociente para integrales |
| \int x\,f(x)\,dx = x\int f(x)\,dx | x no es una constante |
| \int \frac{1}{f(x)}\,dx = \frac{1}{\int f(x)\,dx} | Los recíprocos no atraviesan la integral |
Cuando el integrando es un producto, intenta desarrollarlo y, si no basta, recurre a la integración por sustitución o a la integración por partes.
Errores comunes
- Sacar la variable fuera. Solo salen las constantes. En \int 3x\sin x\,dx puedes sacar el 3, no la x.
- Integrar un producto factor por factor. \int x(x^2+1)\,dx hay que desarrollarla: \int (x^3 + x)\,dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C.
- Separar un denominador. \frac{1}{x + 1} \ne \frac{1}{x} + 1. Puedes separar una fracción según los términos del numerador, nunca del denominador.
- Perder un signo en una diferencia. Distribuye el signo menos a todos los términos de la segunda integral.
Las reglas equivalentes para derivadas son la regla del múltiplo constante y la regla de la suma y la diferencia. Para practicar más cómo combinar estas reglas, consulta la guía de antiderivadas.
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