Hauptsatz der Analysis Teil 2: bestimmte Integrale berechnen

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Teil 2 (auch zweiter Hauptsatz oder Newton-Leibniz-Formel) besagt, dass man ein bestimmtes Integral berechnen kann, indem man eine Stammfunktion sucht und ihre Werte an den Intervallgrenzen voneinander abzieht. Er ersetzt den Grenzwert von Riemann-Summen durch eine einzige Zeile Algebra.

Aussage des Hauptsatzes, Teil 2

Es gelte:

1. f ist stetig auf [a, b], und
2. F ist irgendeine Stammfunktion von f auf [a, b], also F'(x) = f(x).

Dann gilt

Die rechte Seite schreibt man oft als \big[F(x)\big]_a^b oder F(x)\Big|_a^b.

Was der zweite Hauptsatz bedeutet

Das bestimmte Integral summiert f(x)\,dx über das ganze Intervall auf. Ist f die Änderungsrate von F, dann ergibt das Aufsummieren aller kleinen Änderungen F'(x)\,dx die Gesamtänderung von F, also F(b) - F(a). Das ist der Satz über die Gesamtänderung: Integriert man die Geschwindigkeit, erhält man die zurückgelegte Strecke, integriert man eine Durchflussrate, erhält man das Gesamtvolumen.

Warum die Stetigkeit wichtig ist

Betrachte \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx. Eine Stammfunktion von x^{-2} ist -\frac{1}{x}, und wendet man die Formel blind an, erhält man

Aber \frac{1}{x^2} > 0 überall, also kann das Integral nicht negativ sein. Der Fehler: \frac{1}{x^2} ist auf [-1, 1] nicht stetig, weil die Funktion bei x = 0 gegen unendlich geht, daher ist der Hauptsatz nicht anwendbar. Richtig als uneigentliches Integral behandelt, divergiert es gegen \infty. Prüfe also immer, ob es im Inneren des Intervalls Unstetigkeitsstellen gibt, bevor du die Grenzen einsetzt.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: ein Polynom. Berechne \int_1^3 (2x + 1)\,dx.

Schritt 1. Eine Stammfunktion ist F(x) = x^2 + x.

Schritt 2. F(3) = 9 + 3 = 12 und F(1) = 1 + 1 = 2.

Schritt 3. \int_1^3 (2x + 1)\,dx = 12 - 2 = 10.

Kontrolle mit Geometrie: Die Fläche ist ein Trapez mit den parallelen Seiten f(1) = 3 und f(3) = 7 und der Breite 2, ihr Inhalt ist also \frac{3 + 7}{2}\cdot 2 = 10.

Beispiel 2: ein trigonometrisches Integral. Berechne \int_0^\pi \sin x\,dx.

Das ist die Fläche unter einem Bogen der Sinuskurve, wie im Graphen oben gezeigt.

Beispiel 3: ein Logarithmus. Berechne \int_1^e \frac{1}{x}\,dx.

\frac{1}{x} ist stetig auf [1, e], und eine Stammfunktion ist \ln x. Also

Beispiel 4: Gesamtänderung. Ein Tank wird mit r(t) = 3t^2 Litern pro Minute gefüllt. Zwischen t = 1 und t = 2 Minuten nimmt das Volumen zu um

Häufige Fehler

1. Falsche Reihenfolge beim Subtrahieren. Es heißt F(b) - F(a), die obere Grenze zuerst.
2. Vergessene Klammern. Mit F(x) = x^2 - 3x schreibst du F(b) - F(a) = (b^2 - 3b) - (a^2 - 3a). Ohne Klammern drehen sich Vorzeichen um.
3. Unstetigkeiten übersehen. Wie oben gezeigt, braucht ein Integrand, der im Inneren von [a, b] gegen unendlich geht, die Methoden für uneigentliche Integrale.
4. Fläche und orientierte Fläche verwechseln. Der Hauptsatz liefert die orientierte Fläche: Teile unterhalb der x-Achse zählen negativ. Für die Gesamtfläche teilst du dort auf, wo f das Vorzeichen wechselt, wie bei der Fläche zwischen Kurven.

Zusammenhang mit Teil 1

Teil 1 des Hauptsatzes besagt, dass G(x) = \int_a^x f(t)\,dt eine Stammfunktion von f ist. Jede andere Stammfunktion unterscheidet sich von G nur um eine Konstante (eine Folgerung aus dem Mittelwertsatz), also gilt F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = \int_a^b f(t)\,dt. Das ist schon der ganze Beweis von Teil 2.

Wie man Stammfunktionen findet, erfährst du bei Stammfunktionen und der Substitutionsregel. Beide Teile des Satzes mit weiteren Beispielen findest du im Leitfaden zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.