Hauptsatz der Analysis Teil 1: Ableitung eines Integrals

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Teil 1 (kurz: erster Hauptsatz) besagt: Baut man eine Funktion auf, indem man die Fläche unter einer stetigen Kurve aufsummiert, dann ist die Ableitung dieser Funktion die Kurve selbst. Er ist die erste Hälfte der Verbindung zwischen Ableitungen und Integralen.

Aussage des ersten Hauptsatzes

Sei f stetig auf [a, b], und definiere die Integralfunktion

Dann ist F stetig auf [a, b], differenzierbar auf (a, b), und

In Leibniz-Schreibweise: \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x). Die Variable t ist eine Integrationsvariable ohne eigene Bedeutung, und x ist die obere Grenze.

Was der erste Hauptsatz bedeutet

F(x) ist die orientierte Fläche unter y = f(t) von a bis x. Schiebt man x um ein kleines h nach rechts, kommt ein schmaler Streifen der Breite h und ungefähr der Höhe f(x) hinzu. Also gilt

und die Näherung wird für h \to 0 exakt. Die Rate, mit der sich die Fläche aufsummiert, ist gleich der Höhe der Kurve.

Warum die Stetigkeit wichtig ist

Sei f(t) = 0 für t < 0 und f(t) = 1 für t \ge 0, und sei F(x) = \int_{-1}^x f(t)\,dt. Die aufsummierte Fläche ist

und hat bei x = 0 einen Knick. Also existiert F'(0) nicht und ist erst recht nicht gleich f(0) = 1. Das Integral ist weiterhin sinnvoll, aber an der Sprungstelle gilt die Aussage F' = f nicht. Abseits der Sprungstelle, wo f stetig ist, gilt F' = f weiterhin.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: die Grundform.

Keine Integration nötig, und mit elementaren Funktionen auch gar nicht möglich. Ersetze t durch x, und du bist fertig.

Beispiel 2: Die obere Grenze ist eine Funktion von x (Kettenregel). Bestimme \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt.

Schritt 1. Setze u = x^2. Dann ist das Integral G(u) = \int_0^u \cos t\,dt, und nach dem ersten Hauptsatz gilt G'(u) = \cos u.

Schritt 2. Nach der Kettenregel ist \frac{d}{dx}G(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.

Probe: Das Integral ist gleich \sin(x^2), und dessen Ableitung ist 2x\cos(x^2).

Beispiel 3: Beide Grenzen hängen von x ab. Bestimme \frac{d}{dx}\int_x^{2x} e^{t^2}\,dt.

Schritt 1. An einer Konstanten aufteilen: \int_x^{2x} = \int_0^{2x} - \int_0^{x}.

Schritt 2. Jedes Teilintegral mit dem ersten Hauptsatz und der Kettenregel ableiten:

Beispiel 4: eine untere Grenze mit x. Vertausche zuerst die Grenzen: \frac{d}{dx}\int_x^5 \sin(t^2)\,dt = \frac{d}{dx}\left(-\int_5^x \sin(t^2)\,dt\right) = -\sin(x^2).

Häufige Fehler

1. Den Faktor aus der Kettenregel vergessen. \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt ist 2x\cos(x^2), nicht \cos(x^2).
2. Auch die untere Grenze einsetzen. Für \int_a^x f(t)\,dt mit konstantem a lautet die Antwort einfach f(x). Die konstante untere Grenze verschiebt F nur um eine Konstante.
3. Das Vorzeichen vergessen, wenn x in der unteren Grenze steht. Beim Vertauschen der Grenzen kommt ein Minuszeichen hinzu.
4. Zuerst integrieren wollen, wenn das unmöglich ist. Integranden wie e^{t^2} haben keine elementare Stammfunktion, aber der erste Hauptsatz leitet das Integral trotzdem sofort ab.

Warum der erste Hauptsatz wichtig ist

Der erste Hauptsatz beweist, dass jede stetige Funktion eine Stammfunktion hat, nämlich \int_a^x f(t)\,dt. Genau das sorgt dafür, dass der Hauptsatz Teil 2 funktioniert und bestimmte Integrale zu einer einfachen Subtraktion werden. Außerdem definiert er wichtige Funktionen wie \ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt. Die ganze Geschichte beider Teile findest du im Leitfaden zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, und unter Riemann-Summen die Definition des Integrals, auf der er beruht.