Lineare Approximation: Aufgaben mit Lösungen

Diese Aufgaben zur linearen Approximation beginnen mit dem Aufstellen einer Linearisierung, schätzen damit Wurzeln, Sinuswerte, Logarithmen und Potenzen ab und gehen dann zu Differentialen, Messfehlern sowie zu großen und zu kleinen Schätzungen über. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungen.

Die Linearisierung von f an der Stelle x = a ist ihre Tangente:

Für x nahe a gilt f(x) \approx L(x). Die Begründung und weitere Beispiele findest du im Leitfaden zur linearen Approximation.

Aufgaben

Linearisierung

1. Bestimme die Linearisierung von f(x) = \sqrt{x} an der Stelle a = 4.
2. Schätze mit Aufgabe 1 den Wert \sqrt{4.1} ab.
3. Schätze \sqrt[3]{8.2} ab.

Werte abschätzen

4. Schätze \sin(0.1) ab.
5. Schätze \ln(1.05) ab.
6. Schätze e^{0.02} ab.
7. Schätze (1.01)^{10} ab.
8. Schätze \cos 62^\circ ab.

Differentiale und Fehler

9. Bestimme für y = x^3 die Werte dy und \Delta y bei x = 2 und dx = 0.1.
10. Der Radius einer Kugel wird mit 10 cm gemessen, mit einem möglichen Fehler von 0.05 cm. Schätze den möglichen Fehler im berechneten Volumen ab.

Das Ergebnis nutzen

11. Ist die Schätzung aus Aufgabe 2 zu groß oder zu klein? Begründe.
12. Für eine Funktion gilt f(3) = 5 und f'(3) = -2. Schätze f(3.2) ab.

Ergebnisse

Lösungen Schritt für Schritt

1. f(4) = 2 und f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, also f'(4) = \frac{1}{4}:

2. Setze x = 4.1 in die Gerade ein:

3. Verwende f(x) = \sqrt[3]{x} an der Stelle a = 8, denn \sqrt[3]{8} = 2. Die Ableitung ist f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}, also f'(8) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{12}:

4. Verwende f(x) = \sin x an der Stelle a = 0. Es ist f(0) = 0 und f'(0) = \cos 0 = 1, also L(x) = x:

Das ist die Kleinwinkelnäherung \sin x \approx x, die nur im Bogenmaß funktioniert.

5. Verwende f(x) = \ln x an der Stelle a = 1. Es ist f(1) = 0 und f'(1) = 1, also L(x) = x - 1:

6. Verwende f(x) = e^x an der Stelle a = 0. Es ist f(0) = 1 und f'(0) = 1, also L(x) = 1 + x:

7. Verwende f(x) = x^{10} an der Stelle a = 1. Es ist f(1) = 1 und f'(x) = 10x^9, also f'(1) = 10:

8. Rechne im Bogenmaß. Nimm a = 60^\circ = \frac{\pi}{3}, wo \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} gilt und die Steigung -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} ist. Der Schritt ist 2^\circ = \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90}:

9. Das Differential ist dy = f'(x)\,dx = 3x^2\,dx:

Die tatsächliche Änderung ist \Delta y = (2.1)^3 - 2^3 = 9.261 - 8 = 1.261. Das Differential ist eine gute, aber einfachere Schätzung.

10. Das Volumen ist V = \frac{4}{3}\pi r^3, also dV = 4\pi r^2\,dr:

Das Volumen beträgt \frac{4000\pi}{3} \approx 4189 cm³, der relative Fehler ist also \frac{20\pi}{4000\pi/3} = 0.015, das sind 1.5\%. Das ist das Dreifache des Fehlers von 0.5\% beim Radius, weil der Radius in der dritten Potenz eingeht.

11. Für f(x) = \sqrt{x} gilt f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0, der Graph ist also rechtsgekrümmt. Eine rechtsgekrümmte Kurve liegt unter ihren Tangenten, deshalb ist die Schätzung 2.025 ein wenig zu groß. Der exakte Wert 2.02485 bestätigt das.

12. Verwende die Linearisierung an der Stelle a = 3:

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Ein weit entferntes a wählen. Für \sqrt{4.1} nimm a = 4, nicht a = 1. Je näher a liegt, desto besser die Schätzung.
• Mit Grad rechnen. In Aufgabe 8 muss der Schritt im Bogenmaß stehen, also \frac{\pi}{90} und nicht 2.
• dy und \Delta y verwechseln. dy ist die Änderung entlang der Tangente, \Delta y die tatsächliche Änderung entlang der Kurve.
• x - a falsch einsetzen. In Aufgabe 3 ist der Schritt 8.2 - 8 = 0.2, nicht 8.2.

Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit immer neuen Zahlen und sofortigem Feedback probiere die Lektion zu linearer Approximation und Mittelwertsatz. Der Mittelwertsatz ist die exakte Fassung derselben Idee: Die mittlere Steigung über einem Intervall ist an einer Stelle im Inneren gleich der Tangentensteigung. Willst du genauer schätzen, als es eine Gerade erlaubt, sind Taylorpolynome der nächste Schritt.