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Anwendungen der Ableitung

Verknüpfte Änderungsraten: Aufgaben mit Lösungen

10 Aufgaben zu verknüpften Änderungsraten mit Lösungen: Ballons, Leitern, Kegel, Schatten, Autos und Winkel, jeweils mit klarem Ansatz.

Anwendungen der Ableitung Aktualisiert 6 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

x^2 + y^2 = z^2 \;\Rightarrow\; 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 2z\frac{dz}{dt}
Aufgaben
10 Textaufgaben, mit Ergebnissen und vollständigen Lösungen
Niveau
Analysis 1 und AP Calculus AB, Einheit 4
Du brauchst
Implizites Differenzieren und einfache Geometrieformeln
Grundidee
Eine Gleichung aufstellen, die die Größen verbindet, sie nach t ableiten und dann die Zahlen einsetzen
Mit neuen Zahlen üben
Lektion zu verknüpften Änderungsraten
Auf dieser Seite
  1. Aufgaben
  2. Ergebnisse
  3. Lösungen Schritt für Schritt
  4. Typische Fehler bei diesen Aufgaben
  5. Weiter üben

Jede dieser Aufgaben zu verknüpften Änderungsraten beschreibt eine Situation, in der sich zwei oder mehr Größen gemeinsam ändern. Du weißt, wie schnell sich eine ändert, und suchst die Änderungsrate einer anderen. Stelle jeden Ansatz selbst auf, bevor du nachschaust. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungen.

Jede Aufgabe folgt denselben fünf Schritten:

  1. Zeichne eine Skizze und benenne die veränderlichen Größen.
  2. Notiere die bekannte und die gesuchte Änderungsrate, mit Einheiten und Vorzeichen.
  3. Stelle eine Gleichung auf, die die Größen verbindet.
  4. Leite beide Seiten nach t ab.
  5. Setze die Werte für den gegebenen Zeitpunkt ein und löse.

Mehr zur Methode liest du im Leitfaden zu verknüpften Änderungsraten.

Aufgaben

Geometrieformeln

  1. Wasserring. Ein Stein fällt in einen Teich und erzeugt eine kreisförmige Welle. Der Radius wächst mit 3 cm/s. Wie schnell wächst die Fläche innerhalb des Rings, wenn der Radius 10 cm beträgt?
  2. Ballon. Luft wird mit 100 cm³/s in einen kugelförmigen Ballon gepumpt. Wie schnell wächst der Radius, wenn er 5 cm beträgt?
  3. Wachsender Würfel. Die Kanten eines Würfels wachsen mit 0.5 cm/s. Wie schnell wächst das Volumen, wenn jede Kante 4 cm lang ist?

Rechtwinklige Dreiecke

  1. Rutschende Leiter. Eine 10 ft lange Leiter lehnt an einer Wand. Das untere Ende wird mit 2 ft/s von der Wand weggezogen. Wie schnell rutscht das obere Ende die Wand hinunter, wenn das untere Ende 6 ft von der Wand entfernt ist?
  2. Winkel der Leiter. Wie schnell ändert sich in Aufgabe 4 im selben Moment der Winkel zwischen Leiter und Boden?
  3. Zwei Autos. Auto A verlässt eine Kreuzung mit 60 mph Richtung Norden. Gleichzeitig fährt Auto B mit 45 mph Richtung Osten los. Wie schnell wächst der Abstand zwischen ihnen nach 2 Stunden?
  4. Ballon und Beobachter. Ein Heißluftballon steigt mit 4 m/s senkrecht nach oben. Ein Beobachter steht 300 m vom Startpunkt entfernt. Wie schnell ändert sich der Höhenwinkel vom Beobachter zum Ballon, wenn der Ballon 400 m hoch ist?

Ähnliche Dreiecke und Kurven

  1. Kegel füllen. Ein Wassertank ist ein Kegel mit der Spitze nach unten. Er ist 12 ft hoch und hat oben einen Radius von 4 ft. Wasser fließt mit 9 ft³/min hinein. Wie schnell steigt der Wasserspiegel, wenn das Wasser 6 ft tief ist?
  2. Schatten. Eine 6 ft große Person geht mit 5 ft/s von einer 15 ft hohen Straßenlaterne weg. Wie schnell wird ihr Schatten länger?
  3. Bewegter Punkt. Ein Punkt bewegt sich auf der Kurve y = x^2 so, dass seine x-Koordinate mit 3 Einheiten/s wächst. Wie schnell ändert sich sein Abstand zum Ursprung, wenn der Punkt bei (2, 4) ist?

Ergebnisse

Aufgabe Ergebnis
1 60\pi \approx 188.5 cm²/s
2 \dfrac{1}{\pi} \approx 0.318 cm/s
3 24 cm³/s
4 Das obere Ende rutscht mit 1.5 ft/s nach unten (\frac{dy}{dt} = -1.5)
5 -\dfrac{1}{4} rad/s (der Winkel nimmt um 0.25 rad/s ab)
6 75 mph
7 0.0048 rad/s
8 \dfrac{9}{4\pi} \approx 0.716 ft/min
9 \dfrac{10}{3} \approx 3.33 ft/s
10 \dfrac{27}{\sqrt{5}} \approx 12.07 Einheiten/s

Lösungen Schritt für Schritt

1. Bekannt: \frac{dr}{dt} = 3. Gesucht: \frac{dA}{dt} bei r = 10. Die Kreisfläche ist A = \pi r^2. Leite nach t ab:

\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt} = 2\pi(10)(3) = 60\pi \approx 188.5 \text{ cm}^2/\text{s}

2. Bekannt: \frac{dV}{dt} = 100. Gesucht: \frac{dr}{dt} bei r = 5. Das Volumen ist V = \frac{4}{3}\pi r^3:

\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt} \quad\Rightarrow\quad 100 = 4\pi(25)\frac{dr}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\pi} \approx 0.318 \text{ cm/s}

3. Bekannt: \frac{ds}{dt} = 0.5. Gesucht: \frac{dV}{dt} bei s = 4. Das Volumen ist V = s^3:

\frac{dV}{dt} = 3s^2\frac{ds}{dt} = 3(16)(0.5) = 24 \text{ cm}^3/\text{s}

4. Sei x der Abstand des unteren Endes von der Wand und y die Höhe des oberen Endes. Bekannt: \frac{dx}{dt} = 2. Gesucht: \frac{dy}{dt} bei x = 6. Die Länge der Leiter ist fest:

x^2 + y^2 = 100

Bei x = 6 ist y = \sqrt{100 - 36} = 8. Ableiten:

2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\frac{dx}{dt} = -\frac{6}{8}(2) = -1.5 \text{ ft/s}

Das Minuszeichen bedeutet, dass sich das obere Ende nach unten bewegt.

5. Sei \theta der Winkel am Boden. Dann ist \cos\theta = \frac{x}{10}. Ableiten:

-\sin\theta\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{10}\frac{dx}{dt}

In diesem Moment ist \sin\theta = \frac{y}{10} = \frac{8}{10}, also

-\frac{8}{10}\frac{d\theta}{dt} = \frac{2}{10} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\theta}{dt} = -\frac{1}{4} \text{ rad/s}

Der Winkel wird kleiner, während die Leiter abrutscht.

6. Sei y die Strecke von Auto A nach Norden, x die Strecke von Auto B nach Osten und z der Abstand zwischen ihnen. Nach 2 Stunden ist y = 120, x = 90 und z = \sqrt{90^2 + 120^2} = 150. Aus x^2 + y^2 = z^2 folgt:

2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 2z\frac{dz}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{dt} = \frac{90(45) + 120(60)}{150} = \frac{11250}{150} = 75 \text{ mph}

7. Sei h die Höhe und \theta der Höhenwinkel. Bekannt: \frac{dh}{dt} = 4. Der Beobachter steht 300 m entfernt, also \tan\theta = \frac{h}{300}. Ableiten:

\sec^2\theta\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{300}\frac{dh}{dt}

Bei h = 400 ist die Sichtlinie \sqrt{300^2 + 400^2} = 500 m lang, also \cos\theta = \frac{3}{5} und \sec^2\theta = \frac{25}{9}:

\frac{d\theta}{dt} = \frac{9}{25}\cdot\frac{4}{300} = 0.0048 \text{ rad/s}

8. Sei h die Wassertiefe und r der Radius der Wasseroberfläche. Bekannt: \frac{dV}{dt} = 9. Gesucht: \frac{dh}{dt} bei h = 6. Nach den ähnlichen Dreiecken ist \frac{r}{h} = \frac{4}{12}, also r = \frac{h}{3}. Setze das in das Kegelvolumen ein, um r zu entfernen:

V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi\left(\frac{h}{3}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{27}

Leite ab und setze h = 6 ein:

\frac{dV}{dt} = \frac{\pi h^2}{9}\frac{dh}{dt} \quad\Rightarrow\quad 9 = \frac{36\pi}{9}\frac{dh}{dt} = 4\pi\frac{dh}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{dh}{dt} = \frac{9}{4\pi} \approx 0.716 \text{ ft/min}

9. Sei x der Abstand der Person von der Laterne und s die Schattenlänge. Bekannt: \frac{dx}{dt} = 5. Laterne, Person und Schattenspitze bilden zwei ähnliche Dreiecke:

\frac{15}{x + s} = \frac{6}{s} \quad\Rightarrow\quad 15s = 6x + 6s \quad\Rightarrow\quad s = \frac{2}{3}x

Ableiten:

\frac{ds}{dt} = \frac{2}{3}\cdot 5 = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ ft/s}

Das Ergebnis hängt nicht davon ab, wo die Person gerade ist. Die Schattenspitze bewegt sich mit 5 + \frac{10}{3} = \frac{25}{3} ft/s.

10. Sei D der Abstand zum Ursprung. Wegen y = x^2 gilt:

D^2 = x^2 + y^2 = x^2 + x^4

Leite nach t ab:

2D\frac{dD}{dt} = (2x + 4x^3)\frac{dx}{dt}

Bei (2, 4) ist D = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} und \frac{dx}{dt} = 3:

\frac{dD}{dt} = \frac{(4 + 32)(3)}{2\sqrt{20}} = \frac{108}{2\sqrt{20}} = \frac{27}{\sqrt{5}} \approx 12.07 \text{ Einheiten/s}

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

  • Die Zahlen zu früh einsetzen. Schreibst du in Aufgabe 4 vor dem Ableiten 36 + y^2 = 100, wird x zur Konstanten und die Änderungsrate verschwindet.
  • Das Vorzeichen ignorieren. In Aufgabe 4 ist das Ergebnis negativ. „Das obere Ende bewegt sich mit 1,5 ft/s“ ist in Ordnung, aber du solltest wissen, in welche Richtung.
  • Beim Kegel r und h behalten. Drücke in Aufgabe 8 mit ähnlichen Dreiecken r durch h aus, bevor du ableitest.
  • Mit Grad rechnen. In den Aufgaben 5 und 7 kommen die Raten in Radiant pro Sekunde heraus, weil die Ableitungen der Winkelfunktionen nur im Bogenmaß gelten.

Weiter üben

Diese 10 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit immer neuen Zahlen und sofortigem Feedback zu jedem Schritt probiere die Lektion zu verknüpften Änderungsraten und danach die gemischte Übung zu Anwendungen. Die andere große Art von Textaufgaben ist die Optimierung: Übe sie mit den Extremwertaufgaben.

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Verknüpfte Änderungsraten

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Häufig gestellte Fragen

Wie löst man Aufgaben zu verknüpften Änderungsraten?
Zeichne eine Skizze und benenne jede veränderliche Größe. Notiere die bekannte und die gesuchte Änderungsrate. Stelle eine Gleichung auf, die die Größen verbindet, leite beide Seiten nach der Zeit t ab, setze dann die Werte für den betrachteten Zeitpunkt ein und löse.

Warum darf man die Zahlen nicht vor dem Ableiten einsetzen?
Weil die Zahlen nur in einem Moment gelten. Ersetzt du eine veränderliche Größe vor dem Ableiten durch eine Zahl, wird ihre Ableitung 0 und die Änderungsrate geht verloren. Nur feste Größen, etwa die Länge einer Leiter, dürfen früh eingesetzt werden.

Warum ist das Ergebnis bei der Leiteraufgabe negativ?
Das obere Ende der Leiter bewegt sich nach unten, seine Höhe y nimmt also ab, und es gilt \frac{dy}{dt} < 0. In Worten lautet die Antwort „rutscht mit 1,5 ft/s nach unten“, und das Minuszeichen verrät die Richtung.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

Wir entwickeln interaktive Analysis-Lektionen und schreiben jede Seite klar und korrekt. Ist dir ein Fehler aufgefallen? Sag uns Bescheid, dann beheben wir ihn.

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