Aufgaben zur Kettenregel mit Lösungen und Lösungsweg

Diese Aufgaben zur Kettenregel beginnen mit einer einzigen Schicht und steigern sich bis zu verschachtelten Funktionen und Kombinationen mit Produkt- und Quotientenregel. Versuche jede Aufgabe selbst, bevor du die Lösung liest. Die Ergebnisse stehen zuerst, damit du schnell vergleichen kannst, danach folgen die ausführlichen Lösungswege.

Die Regel, die du brauchst:

Leite die äußere Funktion ab, lass das Innere unverändert und multipliziere mit der Ableitung des Inneren. Zur Wiederholung lies zuerst die Seite zur Kettenregel.

Aufgaben

Eine Schicht

1. y = (3x + 1)^5
2. y = \sqrt{x^2 + 9}
3. y = \sin(4x)
4. y = e^{x^2}
5. y = \ln(x^3 + 2x)
6. y = \dfrac{1}{(2x - 5)^3}

Zwei oder mehr Schichten

7. y = \sin^2(4x)
8. y = e^{\cos x}
9. y = \tan\!\left(\sqrt{x}\right)

Mit Produkt- oder Quotientenregel

10. y = x^2 \sin(3x)
11. y = x\,e^{-2x}
12. y = \dfrac{(x+1)^4}{x^2}

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. Die innere Funktion ist u = 3x + 1 mit u' = 3. Die äußere Funktion ist u^5 mit der Ableitung 5u^4:

2. Schreibe y = (x^2 + 9)^{1/2}. Die innere Ableitung ist 2x:

3. Die äußere Funktion ist \sin u mit der Ableitung \cos u, und es gilt u' = 4:

4. Die Ableitung von e^u ist e^u \cdot u', hier mit u = x^2:

5. Die Ableitung von \ln u ist \frac{u'}{u} (siehe Ableitung von ln x):

6. Schreibe um zu y = (2x - 5)^{-3} und wende auf die äußere Funktion die Potenzregel an:

7. Hier gibt es drei Schichten: ein Quadrat, einen Sinus und 4x. Arbeite dich von außen nach innen vor:

Mit der Doppelwinkelformel 2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta ergibt das 4\sin(8x).

8. Die äußere Funktion ist e^u mit u = \cos x und u' = -\sin x:

9. Die äußere Funktion ist \tan u mit der Ableitung \sec^2 u, und u = \sqrt{x} hat die Ableitung u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}:

10. Verwende die Produktregel und für \sin(3x) die Kettenregel:

11. Wieder die Produktregel. Die Ableitung von e^{-2x} ist -2e^{-2x}:

12. Verwende die Quotientenregel und im Zähler die Kettenregel:

Klammere im Zähler 2x(x+1)^3 aus: 2x(x+1)^3\big(2x - (x + 1)\big) = 2x(x+1)^3(x-1). Kürze ein x:

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Die innere Ableitung vergessen. In Aufgabe 3 ist \cos(4x) allein falsch. Genau um den Faktor 4 geht es bei der Kettenregel.
• Das Innere verändern. Die Ableitung von \sin(4x) ist 4\cos(4x), nicht 4\cos(4) oder \cos(4). Das Innere bleibt genau so, wie es war.
• Eine Schicht übersehen. Aufgabe 7 hat drei Schichten, also hat das Ergebnis drei Faktoren. Zähle sie, bevor du fertig bist.
• Zu früh ausmultiplizieren. In Aufgabe 1 kannst du (3x+1)^5 zwar zuerst ausmultiplizieren, aber das ist langsam und fehleranfällig. Mit der Kettenregel brauchst du nur eine Zeile.

Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit jedes Mal neuen Zahlen und sofortigem Feedback zu jedem Schritt probiere die Lektionen zur Kettenregel und danach die gemischten Übungen zur Kettenregel. Für die Theorie mit weiteren Beispielen lies den Leitfaden zur Kettenregel.