Extremwertaufgaben (Optimierung) mit Lösungen

Bei diesen Extremwertaufgaben suchst du den größten oder kleinsten Wert einer echten Größe: einer Fläche, eines Volumens, eines Abstands, von Kosten oder einer Zeit. Stelle jede Aufgabe selbst auf, bevor du nachschaust. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungen.

Jede Aufgabe folgt denselben Schritten:

1. Zeichne eine Skizze und benenne die Variablen.
2. Stelle die zu optimierende Größe auf (die Zielfunktion).
3. Schreibe sie mithilfe der Nebenbedingung als Funktion einer Variablen und bestimme den Definitionsbereich.
4. Setze die Ableitung gleich 0 und löse.
5. Bestätige, dass ein Maximum oder Minimum vorliegt, und beantworte die Frage mit Einheiten.

Mehr zur Methode liest du im Leitfaden zu Extremwertaufgaben.

Aufgaben

Zahlen

1. Zwei positive Zahlen haben die Summe 20. Wie groß kann ihr Produkt höchstens sein?
2. Zwei positive Zahlen haben das Produkt 16. Wie klein kann ihre Summe höchstens sein?

Zäune und Schachteln

3. Zaun am Fluss. Ein Landwirt hat 240 m Zaun, um an einem geraden Fluss ein rechteckiges Gehege abzugrenzen. Entlang des Flusses braucht er keinen Zaun. Welche Maße liefern die größte Fläche?
4. Offene Schachtel. Aus einem quadratischen Karton von 12 Zoll mal 12 Zoll entsteht eine oben offene Schachtel, indem man an jeder Ecke gleich große Quadrate ausschneidet und die Seiten hochklappt. Wie groß müssen die Quadrate sein, damit das Volumen maximal wird?
5. Schachtel mit quadratischer Grundfläche. Eine oben offene Schachtel mit quadratischer Grundfläche soll 32{,}000 cm³ fassen. Bei welchen Maßen wird am wenigsten Material verbraucht?
6. Konservendose. Eine geschlossene zylinderförmige Dose soll 500 cm³ fassen. Bei welchem Radius und welcher Höhe wird am wenigsten Blech verbraucht?

Geometrie und Abstände

7. Rechteck im Halbkreis. Ein Rechteck liegt in einem Halbkreis mit Radius 10, seine Grundseite auf dem Durchmesser. Wie groß kann seine Fläche höchstens sein?
8. Kürzester Abstand. Welcher Punkt der Kurve y = \sqrt{x} liegt dem Punkt (3, 0) am nächsten?

Wirtschaft und Bewegung

9. Ticketpreis. Bei einem Preis von p Dollar verkauft ein Theater 600 - 20p Karten. Bei welchem Preis ist der Erlös am größten?
10. Ruderboot. Du sitzt in einem Ruderboot 3 km von einer geraden Küste entfernt. Du willst eine Stadt an der Küste erreichen, die 8 km vom nächstgelegenen Küstenpunkt entfernt liegt. Du ruderst mit 2 km/h und gehst mit 4 km/h. Wo solltest du anlegen, um so früh wie möglich anzukommen?

Ergebnisse

Lösungen Schritt für Schritt

1. Die Zahlen seien x und 20 - x mit 0 < x < 20. Maximiere P = x(20 - x) = 20x - x^2:

P'' = -2 < 0, also liegt ein Maximum vor. Die Zahlen sind 10 und 10, das Produkt ist 100.

2. Die Zahlen seien x und \frac{16}{x} mit x > 0. Minimiere S = x + \frac{16}{x}:

S'' = \frac{32}{x^3} > 0, also liegt ein Minimum vor. Die Zahlen sind 4 und 4, die Summe ist 8.

3. Sei x jede der beiden Seiten senkrecht zum Fluss. Die Seite am Fluss ist 240 - 2x lang, mit 0 < x < 120. Maximiere

A'' = -4 < 0, also liegt ein Maximum vor. Das Gehege misst 60 m mal 120 m und hat die Fläche 7200 m².

4. Sei x die Seitenlänge jedes Quadrats. Die Grundfläche hat die Seitenlänge 12 - 2x, die Höhe ist x, mit 0 < x < 6:

Wende die Produktregel an und klammere aus:

V' = 0 bei x = 6 (ein Randwert, dort ist V = 0) und bei x = 2. Da V an beiden Rändern 0 und dazwischen positiv ist, liefert x = 2 das Maximum: V = 2\cdot 8^2 = 128 Kubikzoll.

5. Die Grundfläche sei x mal x, die Höhe h. Die Nebenbedingung ist x^2h = 32000, also h = \frac{32000}{x^2}. Das Material besteht aus Boden und vier Seiten:

Also x^3 = 64000 und x = 40. Dann ist h = \frac{32000}{1600} = 20. Wegen S'' = 2 + \frac{256000}{x^3} > 0 liegt ein Minimum vor, und S = 1600 + 3200 = 4800 cm².

6. Eine geschlossene Dose besteht aus zwei Kreisen und dem Mantel: S = 2\pi r^2 + 2\pi rh. Die Nebenbedingung \pi r^2h = 500 liefert h = \frac{500}{\pi r^2}:

Also r = \sqrt[3]{250/\pi} \approx 4.30 cm. S'' = 4\pi + \frac{2000}{r^3} > 0, also liegt ein Minimum vor. Dann ist h = \frac{500}{\pi r^2}. Wegen \pi r^3 = 250 ist das h = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r \approx 8.60 cm. Die beste Dose ist genauso hoch wie breit.

7. Lege den Mittelpunkt des Halbkreises in den Ursprung. Eine Ecke des Rechtecks liegt bei (x, y) auf der Kurve y = \sqrt{100 - x^2}. Die Breite ist 2x:

Also x = 5\sqrt{2} und y = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. Die Fläche ist 2(5\sqrt{2})(5\sqrt{2}) = 100. An den Rändern ist A = 0, also ist das das Maximum.

8. Ein Punkt der Kurve ist (x, \sqrt{x}). Minimiere das Quadrat des Abstands. Es hat sein Minimum an derselben Stelle und lässt sich leichter ableiten:

Die zweite Ableitung ist 2 > 0, also liegt ein Minimum vor. Der Punkt ist \left(\frac{5}{2}, \sqrt{\frac{5}{2}}\right), und der Abstand beträgt \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1.66.

9. Der Erlös ist Preis mal verkaufte Karten, mit 0 \le p \le 30:

R'' = -40 < 0, also liegt ein Maximum vor. Das Theater verkauft 300 Karten und erzielt R = 4500 Dollar.

10. Lege x km vom nächstgelegenen Küstenpunkt entfernt an, mit 0 \le x \le 8. Die Ruderstrecke ist \sqrt{9 + x^2}, die Fußstrecke 8 - x. Zeit ist Strecke durch Geschwindigkeit:

Also 2x = \sqrt{9 + x^2}, daraus folgt 4x^2 = 9 + x^2 und x = \sqrt{3} \approx 1.73. Vergleiche mit den Randwerten:

Am schnellsten bist du, wenn du \sqrt{3} km entlang der Küste anlegst.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Mit zwei Variablen ableiten. Ersetze in Aufgabe 5 das h mithilfe des Volumens, bevor du ableitest.
• Die Randwerte vergessen. Auf einem abgeschlossenen Intervall wie in Aufgabe 10 kann das beste Ergebnis am Rand liegen. Vergleiche immer.
• Die falsche Frage beantworten. Aufgabe 4 fragt nach der Größe der Quadrate, die Antwort ist also 2 Zoll und nicht nur das Volumen.
• Vergessen, dass die Flussseite frei bleibt. In Aufgabe 3 gibt es nur drei Zaunseiten: 2x + y = 240.

Weiter üben

Diese 10 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit immer neuen Zahlen und sofortigem Feedback zu jedem Schritt probiere die Lektion zur Optimierung und die Lektion zu globalen Extrema. Warum die Methode der kritischen Punkte funktioniert, erfährst du beim Satz von Fermat und beim Satz vom Maximum und Minimum. Extremstellen bestimmen übst du auch mit den Aufgaben zur Kurvendiskussion.