Cálculo Diferencial e Integral III UNAM: temario, guía y práctica

Cálculo Diferencial e Integral III (clave 0093) lleva el cálculo diferencial de la Facultad de Ciencias de la UNAM a varias variables. En tercer semestre, los estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas pasan de funciones de una variable a curvas en el espacio, campos escalares y funciones de \mathbb{R}^n en \mathbb{R}^m. Esta guía relaciona cada tema del temario con lecciones de práctica de Cálculo 3.

Qué cubre Cálculo Diferencial e Integral III

El temario oficial tiene siete temas (dos de ellos opcionales):

1. Funciones de \mathbb{R} en \mathbb{R}^n: curvas, velocidad, vector tangente, longitud de arco, curvatura, torsión y plano osculador.
2. Espacios normados (opcional): normas en \mathbb{R}^n.
3. Topología de \mathbb{R}^n: abiertos, cerrados, compactos y conexos; coordenadas polares, cilíndricas y esféricas; límites y continuidad; teorema de Bolzano y Weierstrass.
4. Funciones de \mathbb{R}^n en \mathbb{R}: conjuntos de nivel, diferenciabilidad, derivadas parciales y direccionales, gradiente, plano tangente y polinomios de Taylor.
5. Transformaciones (opcional): matrices, valores propios y formas cuadráticas.
6. Funciones de \mathbb{R}^n en \mathbb{R}^m: jacobiano, regla de la cadena, teoremas de la función inversa e implícita, divergencia, laplaciano y rotacional.
7. Máximos y mínimos: Hessiana, puntos silla y multiplicadores de Lagrange.

Equivale a la mitad diferencial de un Cálculo 3 estándar, con más teoría: los teoremas de la función inversa e implícita se demuestran.

Mapa de temas de Cálculo Diferencial e Integral III

Cálculo III y Cálculo IV

Entre las asignaturas subsecuentes de Cálculo III, el temario lista Cálculo IV, Ecuaciones Diferenciales I, Probabilidad II y Taller de Modelación III. Si vienes de Cálculo Diferencial e Integral II, repasa vectores antes de empezar.

Ejemplos de problemas al nivel de Cálculo III

1. Derivadas parciales. Si f(x, y) = x^2 y + \sin(xy):

2. Derivada direccional. Para f(x, y) = x^2 + 3y^2 en (1, 1), el gradiente es \nabla f = (2x, 6y) = (2, 6). En la dirección unitaria u = \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right):

3. Clasificar un punto crítico. Para f(x, y) = x^2 - y^2, el único punto crítico es (0, 0). La Hessiana tiene determinante f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = (2)(-2) - 0 = -4 < 0, así que (0, 0) es un punto silla.

Cómo te puede ir bien en Cálculo Diferencial e Integral III

• Domina las derivadas parciales primero. Son la base de todo el curso; practícalas en lotes cortos en la sección de práctica.
• Haz dibujos de conjuntos de nivel. Entender que el gradiente es perpendicular a ellos simplifica planos tangentes y Lagrange.
• Repasa álgebra lineal. Jacobianos, Hessianas y formas cuadráticas son matrices; si te cuesta calcular un determinante, refuérzalo pronto.
• Usa el formulario para tener a la vista las reglas de derivación y revisa los errores comunes antes de cada examen.

Consejo: cuando un teorema como el de la función implícita parezca abstracto, pruébalo con x^2 + y^2 = 1. Verás que recupera exactamente la derivación implícita de Cálculo I.