Cálculo Diferencial e Integral II UNAM: temario, guía y práctica

Cálculo Diferencial e Integral II (clave 0092) es la materia de segundo semestre de la Licenciatura en Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM. Si Cálculo I fue el semestre de la derivada, este es el de la integral: cómo se define, por qué el Teorema Fundamental del Cálculo la conecta con la derivada y cómo se calcula en la práctica. Aquí encontrarás cada tema del temario relacionado con lecciones para practicarlo.

Qué cubre Cálculo Diferencial e Integral II

El temario oficial reparte 144 horas en siete temas:

1. Integral definida: área bajo una curva y trabajo como motivación, sumas superiores e inferiores, propiedades y teorema del valor medio para integrales, incluidas funciones integrables con discontinuidades.
2. Teorema Fundamental del Cálculo: la integral como función de su límite superior, demostración de los teoremas fundamentales, integración directa e integrales impropias con sus criterios de convergencia.
3. Logaritmo y exponencial: el logaritmo definido mediante una integral, la exponencial como su inversa y la derivación logarítmica.
4. Funciones trigonométricas a través de la integral (tema opcional): incluso \pi se define con una integral.
5. Métodos de integración: sustitución, integración por partes, polinomios de Taylor con residuo de Cauchy, fracciones parciales y métodos numéricos.
6. Aplicaciones: áreas, área en coordenadas polares, longitud de curvas, volúmenes y áreas de sólidos de revolución, trabajo, masa, momentos y modelos como el decaimiento radiactivo o la ecuación logística.
7. Series: sucesiones y series convergentes y criterios de convergencia.

En términos de un currículo estándar, corresponde al final de Cálculo 1 (la integral) más casi todo Cálculo 2 (técnicas, aplicaciones, integrales impropias y series).

Mapa de temas de Cálculo Diferencial e Integral II

Cálculo II frente al resto de la serie

Un detalle de esta materia: el logaritmo no se da por conocido, sino que se define como \ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}, y de ahí se deducen todas sus propiedades.

Ejemplos de problemas al nivel de Cálculo II

1. Teorema Fundamental del Cálculo.

2. Integración por partes. Con u = \ln x y dv = dx:

3. Una serie geométrica.

Cómo te puede ir bien en Cálculo Diferencial e Integral II

• Practica la elección de método. Ante cada integral pregúntate primero si sirve una sustitución; la lección elegir una estrategia entrena justo eso.
• Ten a mano el formulario con las integrales básicas y la fórmula de integración por partes.
• Dibuja antes de integrar en los problemas de áreas y volúmenes: casi todos los errores vienen de un límite de integración mal elegido.
• No dejes las series para el final. Empieza por la fórmula de la serie geométrica y el criterio del término n-ésimo, y practica con ejercicios variados.

Consejo: cada vez que calcules una primitiva, derívala para comprobarla. Es la verificación más rápida que existe y evita perder puntos por un signo.