Cálculo Diferencial e Integral I UNAM: temario, guía y práctica

Cálculo Diferencial e Integral I es la primera materia de cálculo de la Licenciatura en Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM (clave 0091, primer semestre, 18 créditos). Además de enseñar a derivar, introduce la forma en que se trabaja en matemáticas: definiciones precisas y demostraciones constructivas y cortas. En esta guía relacionamos cada tema del temario oficial con lecciones de práctica, para que aprendas resolviendo ejercicios con retroalimentación inmediata.

Qué cubre Cálculo Diferencial e Integral I

El temario de la Facultad de Ciencias organiza la materia en seis temas, con 144 horas teóricas en total:

1. Introducción: los problemas que dieron origen al cálculo.
2. Números reales: propiedades de enteros, racionales y reales, desigualdades, valor absoluto y la propiedad de completitud.
3. Funciones y sucesiones: funciones polinomiales, racionales, trigonométricas y exponenciales, composición e inversas, y sucesiones de Cauchy.
4. Límite: sucesiones convergentes, límite de funciones, álgebra de límites, límites al infinito y asíntotas.
5. Continuidad: funciones continuas en intervalos cerrados, máximos y mínimos, y el teorema del valor intermedio.
6. Funciones derivables: razón de cambio, tangentes, reglas de derivación, regla de la cadena, derivación implícita, Teorema del Valor Medio, optimización, método de Newton, polinomios de Taylor con residuo de Lagrange y regla de L'Hôpital.

Comparado con un Cálculo 1 estándar, cubre todo lo relativo a límites y derivadas, pero deja la integral para el segundo semestre. A cambio, añade temas propios de un primer curso de análisis, como la completitud de los reales y las sucesiones de Cauchy.

Mapa de temas de Cálculo Diferencial e Integral I

La serie de Cálculo en la Facultad de Ciencias

La seriación es indicativa, así que conviene llevarlas en orden. Continúa con la guía de Cálculo Diferencial e Integral II.

Ejemplos de problemas al nivel de Cálculo I

1. Un límite que se resuelve factorizando.

2. Regla de la cadena. Si f(x) = \sqrt{1 + x^2}, entonces

3. Regla de L'Hôpital. El límite es de la forma \frac{0}{0}, así que derivamos arriba y abajo:

Cómo te puede ir bien en Cálculo Diferencial e Integral I

• Automatiza las cuentas. Si derivar te cuesta poco, puedes dedicar el tiempo de estudio a las demostraciones. Practica un poco cada día en ejercicios de práctica.
• Ten las fórmulas a la vista. El formulario de cálculo reúne derivadas, límites notables y más en una sola página.
• Cuida el álgebra. La mayoría de los errores vienen de signos y desigualdades mal manejadas. Revisa los errores comunes en cálculo.
• Entiende los teoremas con ejemplos. Antes de demostrar el teorema del valor intermedio o el Teorema del Valor Medio, dibuja un caso concreto y comprueba que la conclusión tiene sentido.
• Prepara cada parcial con tiempo. Nuestra guía sobre cómo preparar un examen de cálculo propone un plan por semanas.

Consejo: la definición formal de límite se vuelve mucho más clara cuando ya sabes calcular límites con soltura. Empieza por qué es un límite y luego vuelve a la definición épsilon-delta.