practicecalculus
Empezar
practicecalculus
Derivadas de trigonométricas inversas

Derivada de arccos x: fórmula, demostración y ejemplos

La derivada de arccos x es −1/√(1 − x²). Demostración, por qué es la opuesta de la derivada de arcsen, ejemplos con la regla de la cadena y gráfica.

Derivadas de trigonométricas inversas Actualizado 2 min de lectura

De un vistazo

\frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
Derivada
-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} para -1 < x < 1
Con la regla de la cadena
\dfrac{d}{dx}\arccos u = -\dfrac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}
Dominio de arccos x
[-1, 1]
Recorrido de arccos x
[0, \pi]
Identidad clave
\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}
En esta página
  1. Gráfica de arccos x y de su derivada
  2. Demostración de la derivada de arccos x
  3. Una demostración más rápida con arcsen
  4. Versión con la regla de la cadena: derivada de arccos(u)
  5. Ejemplos resueltos
  6. Errores comunes

La derivada de \arccos x es -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}. Se parece mucho a la derivada de arcsen x con un signo menos delante, y hay una razón muy clara para ello.

\frac{d}{dx}\,\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1

Gráfica de arccos x y de su derivada

Gráfica de y = arccos x y de su derivada
El arcocoseno baja de \pi a 0. Su pendiente es -1 en x = 0 y se vuelve muy pronunciada cerca de x = \pm 1.

Demostración de la derivada de arccos x

Sea y = \arccos x, de modo que \cos y = x con 0 \le y \le \pi. Usa la derivación implícita:

-\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}

En [0, \pi] el seno nunca es negativo, así que \sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}. Eso da

\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

Una demostración más rápida con arcsen

Para todo x en [-1, 1],

\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}

Imagina un triángulo rectángulo: si un ángulo agudo tiene seno x, el otro tiene coseno x, y los dos ángulos suman \frac{\pi}{2}. Deriva ambos lados. El lado derecho es una constante, así que su derivada es 0:

\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{d}{dx}\arccos x = 0

Así que la derivada de arccos es la derivada de arcsen con el signo cambiado. Es una buena manera de recordarla.

Versión con la regla de la cadena: derivada de arccos(u)

\frac{d}{dx}\arccos u = -\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}
Función Interior u Derivada
\arccos(3x) 3x -\frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}
\arccos(x^2) x^2 -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}
\arccos(\sqrt{x}) \sqrt{x} -\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1 - x}}
\arccos\!\left(\frac{x}{2}\right) \frac{x}{2} -\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: regla del producto. Para f(x) = x^2\arccos x, la regla del producto da

f'(x) = 2x\arccos x - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}

Ejemplo 2: pendiente en un punto. En x = \frac{\sqrt{3}}{2}, la pendiente de \arccos x es

-\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{3}{4}}} = -\frac{1}{1/2} = -2

Ejemplo 3: recta tangente. En x = 0 la curva pasa por \left(0, \frac{\pi}{2}\right) con pendiente -1, así que la recta tangente es y = \frac{\pi}{2} - x.

Errores comunes

  1. Olvidar el signo menos. Es la única diferencia con arcsen, y lo más fácil de perder.
  2. Pensar que \cos^{-1} x = \sec x. El recíproco del coseno es la secante. \cos^{-1} es la función inversa.
  3. Omitir u'. \frac{d}{dx}\arccos(5x) = -\frac{5}{\sqrt{1 - 25x^2}}, no -\frac{1}{\sqrt{1 - 25x^2}}.
  4. Usarla en x = \pm 1. Ahí la tangente es vertical, así que no hay derivada.

Rara vez verás -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} integrada como arccos, ya que -\arcsin x + C es la misma familia de respuestas. Consulta la página de la función arcocoseno para ver la gráfica y el recorrido, y practica con ejercicios de derivadas de trigonométricas inversas.

Practícalo ahora

Derivadas de las trigonométricas inversas

Resuelve problemas reales de este tema con corrección al instante, pistas y una solución paso a paso para cada respuesta. Gratis y sin registro para empezar.

Practicar esta lección

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la derivada de arccos x?
La derivada de \arccos x (que también se escribe \cos^{-1} x) es -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} para -1 < x < 1.

¿Por qué la derivada de arccos x es negativa?
Porque \arccos x baja de \pi a 0 cuando x va de -1 a 1. Una función decreciente tiene derivada negativa.

¿Cuál es la derivada de arccos(2x)?
Por la regla de la cadena es -\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}, válida para -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}.

¿Cuál es la derivada de arcsen x + arccos x?
Es 0. Las dos derivadas se anulan, lo que coincide con la identidad \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}, una constante.

Escrito por el equipo de PracticeCalculus

Creamos lecciones interactivas de cálculo y escribimos cada página para que sea clara y correcta. ¿Has visto algo raro? Avísanos y lo corregiremos.

Más derivadas

Derivada de arcsen x \frac{d}{dx}\,\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} La derivada de arcsen x es 1/√(1 − x²). Demostración a partir de sen y = x, la forma con la regla de la cadena para arcsen(u), gráfica y ejemplos resueltos. Derivada de arctan x \frac{d}{dx}\,\arctan x = \frac{1}{1 + x^2} La derivada de arctan x es 1/(1 + x²). Demostración a partir de tan y = x, ejemplos con la regla de la cadena como arctan(2x) y arctan(x²), y gráfica. Derivada de arccot x \frac{d}{dx}\,\operatorname{arccot} x = -\frac{1}{1 + x^2} La derivada de arccot x es −1/(1 + x²). Demostración a partir de cot y = x, relación con arctan, ejemplos con la regla de la cadena y gráfica.