Derivada de csc x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de csc x es -csc x cot x. Demostración a partir de 1/sen x, regla de la cadena para csc(u), gráfica y ejemplos resueltos como csc(3x).
Derivadas trigonométricas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- -\csc x\cot x para x \ne k\pi
- En función de sen y cos
- -\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\csc u = -\csc u\cot u \cdot u'
- Pendiente en x = π/2
- -\csc\frac{\pi}{2}\cot\frac{\pi}{2} = 0
- Versión para integrales
- \int \csc x\cot x\,dx = -\csc x + C
En esta página
La derivada de \csc x es -\csc x\cot x. La cosecante es \frac{1}{\sin x} y, como toda función trigonométrica "co", su derivada lleva un signo menos.
Gráfica de csc x y de su derivada
Demostración con la regla de la cadena
Escribe \csc x = (\sin x)^{-1}. Con la regla de la cadena:
Separa la fracción:
Es un caso particular del patrón de la derivada de 1/x, \frac{d}{dx}\frac{1}{u} = -\frac{u'}{u^2}, con u = \sin x.
Un patrón que conviene conocer
Las seis derivadas trigonométricas vienen en parejas. Cambia cada función por su pareja "co" y cambia el signo:
| Función | Derivada | Pareja | Derivada |
|---|---|---|---|
| \sin x | \cos x | \cos x | -\sin x |
| \tan x | \sec^2 x | \cot x | -\csc^2 x |
| \sec x | \sec x\tan x | \csc x | -\csc x\cot x |
Así que si recuerdas la derivada de sec x, obtienes la de \csc x gratis.
La versión con la regla de la cadena: derivada de csc(u)
Ejemplo 1. \frac{d}{dx}\csc(3x) = -3\csc(3x)\cot(3x).
Ejemplo 2. \frac{d}{dx}\csc(x^2) = -2x\csc(x^2)\cot(x^2).
Ejemplo 3. \frac{d}{dx}\csc\left(\frac{x}{2}\right) = -\frac{1}{2}\csc\frac{x}{2}\cot\frac{x}{2}.
Más ejemplos resueltos
Ejemplo 4: un producto. \frac{d}{dx}(x^2\csc x) = 2x\csc x - x^2\csc x\cot x.
Ejemplo 5: una potencia. \frac{d}{dx}\csc^2 x = 2\csc x\cdot(-\csc x\cot x) = -2\csc^2 x\cot x.
Ejemplo 6: un valor. En x = \frac{\pi}{6}, \csc\frac{\pi}{6} = 2 y \cot\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}, así que la pendiente es -2\sqrt{3} \approx -3.46. Ahí la curva baja con fuerza, lo que coincide con la gráfica.
Cómo leer la gráfica
Cada rama de la cosecante tiene forma de U por encima o por debajo del eje. En la rama superior entre 0 y \pi, la curva baja en la mitad izquierda y sube en la mitad derecha, con su punto más bajo en x = \frac{\pi}{2}. La derivada cuenta la misma historia: negativa a la izquierda, cero en el fondo, positiva a la derecha. Cerca de las asíntotas en 0 y \pi la curva es casi vertical, así que ahí la derivada crece sin límite en valor absoluto. Tener esta imagen en mente es una forma rápida de comprobar el signo de cualquier resultado que calcules.
Errores comunes
- Olvidar el signo menos. La regla "co": \cos, \cot y \csc tienen derivadas negativas.
- Escribir -\cot^2 x o -\csc^2 x. -\csc^2 x es la derivada de \cot x. La derivada de \csc x es -\csc x\cot x.
- Confundir el recíproco. \csc x = \frac{1}{\sin x}, no \frac{1}{\cos x}.
La parte de integrales está en la página de la integral de csc x. Para practicar más, prueba los ejercicios de derivadas trigonométricas.
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