Derivada de sen²x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de sen²x es 2 sen x cos x, que es igual a sen 2x. Demostración con la regla de la cadena, comprobación con el ángulo doble y ejemplos resueltos.
Derivadas trigonométricas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- 2\sin x\cos x
- Simplificada
- \sin 2x
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\sin^2 u = 2\sin u\cos u\cdot u'
- No es lo mismo que
- \sin(x^2), cuya derivada es 2x\cos(x^2)
- Integral de sen²x
- \int\sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C
En esta página
La derivada de \sin^2 x es 2\sin x\cos x, que la fórmula del ángulo doble abrevia como \sin 2x.
Gráfica de sen²x y de su derivada
Demostración con la regla de la cadena
La notación \sin^2 x significa (\sin x)^2. Por fuera está el cuadrado, por dentro \sin x. La regla de la cadena da
La identidad del ángulo doble \sin 2x = 2\sin x\cos x lo deja en \sin 2x.
Comprobación con una identidad del ángulo doble
Reescribe primero con \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}:
El mismo resultado, sin necesidad de aplicar la regla de la cadena a un cuadrado. Esta fórmula de reducción de potencias es también la que se usa para integrarla; consulta la integral de sen²x.
Comprobación con la regla del producto
Escribe \sin^2 x = \sin x\cdot\sin x y usa la regla del producto: \cos x\sin x + \sin x\cos x = 2\sin x\cos x.
Variantes con la regla de la cadena
| Función | Derivada | Simplificada |
|---|---|---|
| \sin^2(3x) | 6\sin 3x\cos 3x | 3\sin 6x |
| \sin^2(x^2) | 4x\sin(x^2)\cos(x^2) | 2x\sin(2x^2) |
| \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) | \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} | \frac{1}{2}\sin x |
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: una potencia mayor. \frac{d}{dx}\sin^3 x = 3\sin^2 x\cos x.
Ejemplo 2: un valor. En x = \frac{\pi}{4}, la pendiente es \sin\frac{\pi}{2} = 1. Es el punto más pronunciado de \sin^2 x.
Ejemplo 3: pendiente máxima. La derivada \sin 2x vale como mucho 1, así que \sin^2 x nunca sube con una pendiente mayor que 1, la misma velocidad máxima que \sin x.
Ejemplo 4: segunda derivada. \frac{d}{dx}\sin 2x = 2\cos 2x, así que \sin^2 x es cóncava hacia arriba donde \cos 2x > 0, por ejemplo en \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right).
Por qué el resultado tiene periodo π
La función \sin^2 x nunca es negativa, así que su gráfica se repite cada \pi en lugar de cada 2\pi. La derivada \sin 2x también tiene periodo \pi, lo cual es una buena comprobación de coherencia: una función y su derivada deberían repetirse a la vez. Si tu resultado tuviera periodo 2\pi, como 2\cos x, algo ha fallado. Comparar el periodo es una forma rápida de detectar errores sin rehacer el álgebra.
Errores comunes
- Responder \cos^2 x. Elevar la derivada al cuadrado no es la regla de la cadena.
- Responder 2\cos x. La derivada del cuadrado es 2\sin x, y después multiplicas por \cos x.
- Confundir \sin^2 x con \sin(x^2). Consulta la derivada de sen(x²): 2x\cos(x^2).
La versión con coseno está en la página de la derivada de cos²x, y el resultado \sin 2x tiene su propia página, la derivada de sen 2x.
Practícalo ahora
Regla de la cadena: trigonometría
Resuelve problemas reales de este tema con corrección al instante, pistas y una solución paso a paso para cada respuesta. Gratis y sin registro para empezar.
Practicar esta lección