Derivada de sen x: fórmula, demostración y ejemplos

La derivada de \sin x es \cos x. Allí donde la onda del seno sube, el coseno es positivo. Allí donde baja, el coseno es negativo.

Gráfica de sen x y de su derivada

Demostración con la definición de límite

Usa la fórmula del seno de una suma \sin(x + h) = \sin x\cos h + \cos x\sin h:

Dos límites conocidos terminan la demostración. Cuando h \to 0, \frac{\sin h}{h} \to 1 (se demuestra con el teorema del sándwich) y \frac{\cos h - 1}{h} \to 0. Así que

El límite \frac{\sin h}{h} \to 1 solo se cumple con h en radianes. Esa es la verdadera razón por la que en cálculo se usan radianes.

La versión con la regla de la cadena: derivada de sen(u)

Mantén el mismo interior, cambia el seno por coseno y multiplica por la derivada del interior. Consulta la regla de la cadena.

Páginas completas: derivada de sen 2x y derivada de sen(x²).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: un producto. Deriva f(x) = x\sin x con la regla del producto:

Ejemplo 2: una potencia del seno. \frac{d}{dx}\sin^3 x = 3\sin^2 x\cos x. La función exterior es el cubo y la interior es \sin x.

Ejemplo 3: una recta tangente. En x = \frac{\pi}{3}, \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} y la pendiente es \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}:

Ejemplo 4: derivadas sucesivas. Las derivadas de \sin x forman un ciclo cada cuatro pasos: \cos x, -\sin x, -\cos x y de nuevo \sin x. Así que la décima derivada es igual que la segunda: -\sin x.

Errores comunes

1. Añadir un signo menos. \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, positiva. El menos pertenece a la derivada de cos x.
2. Cambiar el interior. \frac{d}{dx}\sin(3x) es 3\cos(3x), no 3\cos x ni \cos 3.
3. Confundir \sin^2 x con \sin(x^2). Sus derivadas son 2\sin x\cos x y 2x\cos(x^2).
4. Trabajar en grados. En grados aparece un factor extra \frac{\pi}{180}.

La operación inversa está en la página de la integral de sen x. Para una visión de conjunto, lee derivadas de funciones trigonométricas o prueba los ejercicios de derivadas trigonométricas.