Derivada de xeˣ: fórmula, pasos y ejemplos
La derivada de xeˣ es eˣ(x + 1). Pasos con la regla del producto, el mínimo en x = −1, el patrón de la derivada n-ésima, una gráfica y ejemplos resueltos.
Derivadas exponenciales y logarítmicas Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- e^x(x + 1)
- Segunda derivada
- e^x(x + 2)
- Derivada n-ésima
- e^x(x + n)
- Mínimo
- x = -1, valor -\frac{1}{e} \approx -0.368
- Integral
- \int xe^x\,dx = e^x(x - 1) + C
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La derivada de xe^x es e^x(x + 1). Es un producto de x y e^x, así que la herramienta adecuada es la regla del producto.
Paso a paso con la regla del producto
Con f = x y g = e^x, la regla del producto (fg)' = f'g + fg' da:
- f' = 1.
- g' = e^x, ya que la derivada de eˣ es ella misma.
- Combina: 1\cdot e^x + x\cdot e^x = e^x + xe^x.
- Saca e^x como factor común: e^x(x + 1).
La forma factorizada es más útil. Como e^x nunca vale cero, la derivada solo se anula donde x + 1 = 0.
Gráfica de xeˣ y de su derivada
Mínimo y punto de inflexión
Mínimo. La derivada e^x(x + 1) es negativa para x < -1 y positiva para x > -1. Así que x = -1 es un mínimo, con valor
Punto de inflexión. La segunda derivada es
Cambia de signo en x = -2, así que ahí la gráfica pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. El punto es \left(-2, -\frac{2}{e^2}\right) \approx (-2, -0.271).
El patrón de la derivada n-ésima
Cada vez que derivas e^x(x + k), obtienes e^x(x + k) + e^x = e^x(x + k + 1). Así:
| Derivada | Resultado |
|---|---|
| f'(x) | e^x(x + 1) |
| f''(x) | e^x(x + 2) |
| f'''(x) | e^x(x + 3) |
| f^{(n)}(x) | e^x(x + n) |
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: la versión decreciente. Para f(x) = xe^{-x}, usa la regla de la cadena en e^{-x} (consulta e^(−x)):
Ahora el punto crítico es un máximo en x = 1.
Ejemplo 2: una potencia mayor. Para g(x) = x^2e^x,
Los puntos críticos están en x = 0 y x = -2.
Ejemplo 3: un exponente con factor. Para h(x) = xe^{3x},
Ejemplo 4: una recta tangente. En x = 0, xe^x = 0 y la pendiente es e^0(0 + 1) = 1. La recta tangente es y = x.
Errores comunes
- Multiplicar las dos derivadas. 1\cdot e^x = e^x no es la regla del producto; pierde el término xe^x.
- Dar xe^x como resultado. La derivada de e^x es e^x, pero el producto con x sigue necesitando la regla del producto.
- No factorizar. Dejar e^x + xe^x es correcto, pero factorizar hace mucho más fácil encontrar los puntos críticos.
En sentido inverso, \int xe^x\,dx = e^x(x - 1) + C por integración por partes; consulta la integral de xeˣ. Compruébalo: \frac{d}{dx}e^x(x - 1) = e^x(x - 1) + e^x = xe^x. Practica con los ejercicios de la regla del producto y del cociente.
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La regla del producto
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