Ejercicios resueltos de la regla del producto y del cociente

Estos ejercicios de la regla del producto y del cociente empiezan con productos de dos factores, siguen con cocientes y terminan con un producto triple, un producto dentro de un cociente y un ejercicio a partir de una tabla de valores. Intenta cada uno primero. Las respuestas aparecen justo después de la lista, y luego las soluciones completas.

Las dos reglas:

Si necesitas un repaso, consulta las páginas de la regla del producto y la regla del cociente, o la guía de las reglas del producto y del cociente.

Ejercicios

Regla del producto

1. y = x^2 e^x
2. y = (x^2 + 1)(3x - 2)
3. y = \sqrt{x}\,\ln x
4. y = e^x\cos x

Regla del cociente

5. y = \dfrac{x}{x + 1}
6. y = \dfrac{2x - 1}{x^2 + 3}
7. y = \dfrac{\sin x}{x}
8. y = \dfrac{\ln x}{x}
9. y = \dfrac{e^x}{x^2}

Combinando las dos

10. y = x\,e^x\sin x
11. y = \dfrac{x^2 e^x}{x + 1}
12. Si f(2) = 3, f'(2) = -1, g(2) = 4 y g'(2) = 5, halla (fg)'(2) y \left(\dfrac{f}{g}\right)'(2).

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Sean f = x^2 y g = e^x, así que f' = 2x y g' = e^x:

2. Sean f = x^2 + 1 y g = 3x - 2:

Puedes comprobarlo desarrollando primero: y = 3x^3 - 2x^2 + 3x - 2 da la misma derivada.

3. Sean f = \sqrt{x} y g = \ln x, así que f' = \frac{1}{2\sqrt{x}} y g' = \frac{1}{x}:

Aquí \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{2}{2\sqrt{x}}.

4. La derivada de \cos x es -\sin x:

5. Numerador x, denominador x + 1, y las dos derivadas valen 1:

6. Derivada del numerador 2, derivada del denominador 2x:

7. Derivada del numerador \cos x, derivada del denominador 1:

8. Derivada del numerador \frac{1}{x}, derivada del denominador 1:

9. Derivada del numerador e^x, derivada del denominador 2x:

10. Tres factores, así que tres términos. Deriva x, luego e^x y luego \sin x, uno cada vez:

11. El numerador es un producto. Por el ejercicio 1, su derivada es (x^2 + 2x)e^x. Ahora usa la regla del cociente:

Saca e^x factor común en el numerador y desarrolla: (x^2 + 2x)(x + 1) - x^2 = x^3 + 2x^2 + 2x = x(x^2 + 2x + 2). Así que

12. Sustituye los valores en cada regla:

Errores comunes en estos ejercicios

• Multiplicar las derivadas. (x^2e^x)' \ne 2x\cdot e^x. La regla del producto siempre da dos términos.
• Restar en el orden equivocado. En el ejercicio 6, escribir (2x - 1)(2x) - 2(x^2 + 3) en el numerador da el tamaño correcto pero el signo equivocado.
• Olvidar elevar al cuadrado el denominador. El denominador de la regla del cociente es g^2, no g.
• Desarrollar cuando es más fácil factorizar. En el ejercicio 9, saca xe^x factor común en el numerador para poder simplificar una x.

Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, prueba la lección de la regla del producto y la lección de la regla del cociente. Cuando los propios factores lleven algo dentro, como x^2\sin(3x), sigue con los ejercicios de la regla de la cadena.