Ejercicios de la regla de la cadena resueltos con respuestas

Estos ejercicios de la regla de la cadena empiezan con una sola capa y avanzan hasta funciones anidadas y combinaciones con las reglas del producto y del cociente. Intenta cada uno antes de leer la solución. Las respuestas aparecen primero para que puedas comprobar rápido, y después vienen las soluciones completas.

La regla que necesitas:

Deriva la función de fuera, deja intacta la de dentro y multiplica por la derivada de la de dentro. Para repasar, lee primero la página de la regla de la cadena.

Ejercicios

Una capa

1. y = (3x + 1)^5
2. y = \sqrt{x^2 + 9}
3. y = \sin(4x)
4. y = e^{x^2}
5. y = \ln(x^3 + 2x)
6. y = \dfrac{1}{(2x - 5)^3}

Dos o más capas

7. y = \sin^2(4x)
8. y = e^{\cos x}
9. y = \tan\!\left(\sqrt{x}\right)

Con la regla del producto o del cociente

10. y = x^2 \sin(3x)
11. y = x\,e^{-2x}
12. y = \dfrac{(x+1)^4}{x^2}

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. La función de dentro es u = 3x + 1, con u' = 3. La de fuera es u^5, con derivada 5u^4:

2. Escribe y = (x^2 + 9)^{1/2}. La derivada de dentro es 2x:

3. La función de fuera es \sin u, cuya derivada es \cos u, y u' = 4:

4. La derivada de e^u es e^u \cdot u', y u = x^2:

5. La derivada de \ln u es \frac{u'}{u} (consulta la derivada de ln x):

6. Reescribe como y = (2x - 5)^{-3} y usa la regla de la potencia en la función de fuera:

7. Hay tres capas: un cuadrado, un seno y 4x. Trabaja de fuera hacia dentro:

Con la identidad del ángulo doble 2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta, esto es 4\sin(8x).

8. La función de fuera es e^u con u = \cos x y u' = -\sin x:

9. La función de fuera es \tan u, con derivada \sec^2 u, y u = \sqrt{x} tiene u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}:

10. Usa la regla del producto, con la regla de la cadena para \sin(3x):

11. De nuevo la regla del producto. La derivada de e^{-2x} es -2e^{-2x}:

12. Usa la regla del cociente, con la regla de la cadena en el numerador:

Saca factor común 2x(x+1)^3 en el numerador: 2x(x+1)^3\big(2x - (x + 1)\big) = 2x(x+1)^3(x-1). Simplifica una x:

Errores comunes en estos ejercicios

• Olvidar la derivada de dentro. En el ejercicio 3, \cos(4x) a secas es incorrecto. El factor 4 es justamente la clave de la regla de la cadena.
• Cambiar la función de dentro. La derivada de \sin(4x) es 4\cos(4x), no 4\cos(4) ni \cos(4). La parte de dentro se queda exactamente como estaba.
• Saltarse una capa. El ejercicio 7 tiene tres capas, así que la respuesta tiene tres factores. Cuéntalos antes de terminar.
• Desarrollar demasiado pronto. En el ejercicio 1, desarrollar (3x+1)^5 primero es posible, pero lento y propenso a errores. La regla de la cadena lo resuelve en una línea.

Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con números nuevos cada vez y corrección al instante en cada paso, prueba las lecciones de la regla de la cadena y después la práctica mixta de la regla de la cadena. Para la teoría con más ejemplos, lee la guía de la regla de la cadena.