Fonction du second degré : parabole, sommet, dérivée et primitive
La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c : parabole, formule du sommet, racines, dérivée 2ax + b, primitive et exemples corrigés.
Fonctions algébriques Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- Domaine de définition
- (-\infty, \infty)
- Ensemble image
- \left[f\left(-\frac{b}{2a}\right), \infty\right) si a > 0
- Dérivée
- 2ax + b
- Primitive
- \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C
- Sommet
- x = -\frac{b}{2a}
- Racines
- x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Sur cette page
Une fonction du second degré est un polynôme de degré deux. Sa courbe est une parabole, une courbe symétrique en forme de U avec un seul extremum appelé le sommet. Ces fonctions modélisent la hauteur d'un projectile, une aire ou un bénéfice, et ce sont les premières courbes où la dérivée révèle quelque chose qu'une droite ne montre pas.
Formule et différentes formes
| Forme | Équation | Fait apparaître |
|---|---|---|
| Développée | ax^2 + bx + c | ordonnée à l'origine c (axe des y) |
| Canonique | a(x - h)^2 + k | sommet (h, k) |
| Factorisée | a(x - r_1)(x - r_2) | racines r_1, r_2 |
Courbe d'une fonction du second degré
Caractéristiques principales :
- Orientation. Tournée vers le haut si a > 0 (le sommet est un minimum), vers le bas si a < 0 (le sommet est un maximum).
- Axe de symétrie. La droite verticale x = -\frac{b}{2a}.
- Racines. Données par la formule x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. Le discriminant b^2 - 4ac indique s'il y a deux, une ou aucune racine réelle.
- Ensemble image. \left[k, \infty\right) si a > 0 et \left(-\infty, k\right] si a < 0, où k est l'ordonnée du sommet.
Dérivée d'une fonction du second degré
D'après la règle de la puissance et la règle de la somme :
La dérivée d'une fonction du second degré est une fonction affine. Elle s'annule en un seul point, x = -\frac{b}{2a}, qui est le sommet. La dérivée seconde est la constante 2a, donc la parabole est convexe partout lorsque a > 0 et concave partout lorsque a < 0. C'est pourquoi le sommet est toujours l'extremum global.
Primitive d'une fonction du second degré
Le c minuscule est le terme constant du trinôme ; le C majuscule est la constante d'intégration.
Exemples corrigés
Exemple 1 : le sommet par la dérivée. Pour f(x) = x^2 - 2x - 3, f'(x) = 2x - 2 = 0 donne x = 1, et f(1) = -4. Le sommet est (1, -4), un minimum car a = 1 > 0.
Exemple 2 : hauteur maximale. La hauteur d'une balle est h(t) = -5t^2 + 20t + 1 mètres. Alors h'(t) = -10t + 20 = 0 en t = 2, et la hauteur maximale est h(2) = -20 + 40 + 1 = 21 mètres.
Exemple 3 : aire sous une parabole. Calculons \int_0^3 (x^2 + 1)\,dx :
Exemple 4 : tangente. Pour f(x) = x^2 - 2x - 3 en x = 3 : f(3) = 0 et f'(3) = 4, donc la tangente a pour équation y = 4(x - 3) = 4x - 12.
Erreurs fréquentes
- Oublier le signe moins dans -\frac{b}{2a}. Pour x^2 - 2x - 3, b = -2, donc le sommet est en x = -\frac{-2}{2} = 1.
- Dériver ax^2 en ax. L'exposant descend : \frac{d}{dx}3x^2 = 6x.
- Intégrer x^2 en \frac{x^3}{2}. Il faut diviser par le nouvel exposant, 3.
- Développer (x - 2)^2 en x^2 + 4. Le développement correct est x^2 - 4x + 4.
Liens avec le reste du cours
Les fonctions du second degré sont les fonctions polynômes courbées les plus simples : ce sont donc les premiers exemples classiques pour les problèmes d'optimisation, l'étude de fonctions et l'aire entre deux courbes. Le polynôme de Taylor d'ordre deux de toute fonction lisse est du second degré, ce qui explique pourquoi les paraboles approchent si bien tant de courbes au voisinage d'un point.
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