Integral de 1/x: fórmula, deducción y ejemplos
La integral de 1/x es ln|x| + C. Descubre por qué falla la regla de la potencia, de dónde sale el valor absoluto y cómo resolver 1/(ax + b) y f'/f.
Potencias, raíces y funciones racionales Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Antiderivada
- \ln\lvert x\rvert + C
- Válida para
- x \ne 0
- Forma lineal
- \int \dfrac{1}{ax + b}\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert ax + b\rvert + C
- Forma logarítmica
- \int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C
- Área de 1 a e
- 1
En esta página
La integral de \dfrac{1}{x} es \ln\lvert x\rvert + C. Es la única potencia de x que la regla de la potencia inversa no puede resolver, y el logaritmo natural cubre ese hueco.
Gráfica de 1/x y su antiderivada
A la derecha, \frac{1}{x} > 0 y \ln x crece. A la izquierda, \frac{1}{x} < 0 y \ln\lvert x\rvert decrece al avanzar hacia la derecha. En los dos casos las pendientes coinciden con las alturas.
Por qué falla la regla de la potencia
La regla de la potencia inversa dice que \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C. Para \frac{1}{x} = x^{-1} daría \frac{x^0}{0}, que no está definido. Ninguna potencia de x tiene derivada x^{-1}, porque la derivada de x^0 = 1 es 0.
La función que sí tiene derivada \frac{1}{x} es el logaritmo natural. La página de la derivada de ln x demuestra que \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} para x > 0.
De dónde sale el valor absoluto
Para x < 0, \ln x no está definido, pero \ln(-x) sí. Derívalo con la regla de la cadena:
Así que \ln x funciona para x > 0 y \ln(-x) funciona para x < 0. Juntos forman \ln\lvert x\rvert.
Comprobación derivando
Para x > 0: \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}. Para x < 0: \frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{x}. Ambos dan \frac{1}{x}, así que \frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x} para todo x \ne 0.
Variantes por sustitución
Con u = ax + b:
En general, siempre que el numerador sea la derivada del denominador, el resultado es un logaritmo:
Este único patrón da la integral de tan x, la integral de cot x y la integral de x/(x² + 1).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1. \int \frac{5}{x}\,dx = 5\ln\lvert x\rvert + C.
Ejemplo 2. \int \frac{1}{3x - 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3x - 2\rvert + C.
Ejemplo 3. \int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x}\,dx = \ln\lvert x^2 + 3x\rvert + C, ya que el numerador es la derivada del denominador.
Ejemplo 4: definida, lado positivo. \int_1^2 \frac{1}{x}\,dx = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \approx 0.693.
Ejemplo 5: definida, lado negativo. \int_{-3}^{-1} \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert -1\rvert - \ln\lvert -3\rvert = -\ln 3. El resultado es negativo porque ahí la curva está por debajo del eje.
Errores comunes
- Usar la regla de la potencia. \frac{x^0}{0} no tiene sentido. Usa \ln\lvert x\rvert.
- Quitar el valor absoluto cuando x puede ser negativo.
- Integrar atravesando el 0. \int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx no es \ln 1 - \ln 1 = 0. La integral diverge.
- Confundirla con \frac{1}{x^2}. \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C, no un logaritmo. Consulta la integral de 1/x².
- Olvidar el \frac{1}{a} en \int \frac{1}{ax + b}\,dx.
Para una integral con logaritmos que va en sentido contrario, consulta la integral de ln x.
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