Integral de cot x: fórmula, deducción y ejemplos
La integral de cot x es ln|sen x| + C. El cambio u = sen x, su relación con tan x, además de cot(ax), cot² x y ejemplos de integrales definidas.
Integrales trigonométricas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Antiderivada
- \ln\lvert\sin x\rvert + C
- Forma equivalente
- -\ln\lvert\csc x\rvert + C
- Método
- Escribe \dfrac{\cos x}{\sin x} y luego u = \sin x
- Forma lineal
- \int\cot(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert\sin(ax)\rvert + C
- Comprobación
- \dfrac{d}{dx}\ln\lvert\sin x\rvert = \cot x
En esta página
La integral de \cot x es \ln\lvert\sin x\rvert + C. Sale de un único cambio de variable y es la imagen especular de la integral de tan x.
Gráfica de cot x y su antiderivada
Deducción paso a paso
- Reescribe: \displaystyle\int\cot x\,dx = \int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx.
- Sea u = \sin x. Entonces du = \cos x\,dx.
- Sustituye: \displaystyle\int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C.
- Deshaz el cambio u = \sin x: \ln\lvert\sin x\rvert + C.
El paso 3 es la integral de 1/x. Como \ln\lvert\sin x\rvert = -\ln\lvert\csc x\rvert, algunos libros escriben el resultado como -\ln\lvert\csc x\rvert + C. Es la misma función.
Comprobación derivando
El sentido directo es distinto: la derivada de cot x es -\csc^2 x.
Comparación entre tan y cot
| \tan x | \cot x | |
|---|---|---|
| Reescritura | \frac{\sin x}{\cos x} | \frac{\cos x}{\sin x} |
| Cambio de variable | u = \cos x, du = -\sin x\,dx | u = \sin x, du = \cos x\,dx |
| Integral | -\ln\lvert\cos x\rvert + C | \ln\lvert\sin x\rvert + C |
| Derivada | \sec^2 x | -\csc^2 x |
El signo menos aparece con \tan x pero no con \cot x, porque la derivada de \cos x es -\sin x, mientras que la de \sin x es +\cos x.
Integrales definidas
Empezar en x = 0 da una integral impropia divergente, ya que \ln\sin x \to -\infty cuando x \to 0^+.
Variantes por sustitución
Ejemplo 1. \int\cot(4x)\,dx = \frac{1}{4}\ln\lvert\sin 4x\rvert + C.
Ejemplo 2. \int x\cot(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sin(x^2)\rvert + C, con u = x^2.
Ejemplo 3: cotangente al cuadrado. Usa \cot^2 x = \csc^2 x - 1:
Comprobación: \frac{d}{dx}(-\cot x - x) = \csc^2 x - 1 = \cot^2 x.
Ejemplo 4: una cotangente escondida. \int\frac{\cos x}{3\sin x + 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3\sin x + 2\rvert + C, con u = 3\sin x + 2.
Errores comunes
- Responder -\csc^2 x. Esa es la derivada de \cot x.
- Añadir un signo menos por analogía con \tan x. -\ln\lvert\sin x\rvert tiene derivada -\cot x.
- Responder \ln\lvert\cos x\rvert. El logaritmo va sobre el denominador de \frac{\cos x}{\sin x}, que es \sin x.
- Quitar el valor absoluto. \sin x < 0 en (\pi, 2\pi).
Practica con los ejercicios de cambio de variable.
Practícalo ahora
Sustitución (cambio de variable)
Resuelve problemas reales de este tema con corrección al instante, pistas y una solución paso a paso para cada respuesta. Gratis y sin registro para empezar.
Practicar esta lección