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Integrales trigonométricas

Integral de cos² x: fórmula, deducción y ejemplos

La integral de cos² x es x/2 + sen(2x)/4 + C. La fórmula de reducción de potencias, la comprobación, cos²(ax) y el área del círculo.

Integrales trigonométricas Actualizado 2 min de lectura

De un vistazo

\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C
Antiderivada
\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C
Identidad usada
\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}
Forma equivalente
\dfrac{x + \sin x\cos x}{2} + C
De 0 a 2π
\pi
Comprobación con sen²
\int(\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = x + C
En esta página
  1. Gráfica de cos² x y su antiderivada
  2. Deducción paso a paso
  3. Comprobación derivando
  4. Integrales definidas
  5. Variantes por sustitución
  6. Dónde aparece: el área del círculo
  7. Ejemplo resuelto: cos² x sen² x
  8. Errores comunes

La integral de \cos^2 x es \dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C. Igual que \sin^2 x, necesita una identidad de reducción de potencias antes de integrar.

\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C

Gráfica de cos² x y su antiderivada

Área bajo y = cos² x entre -π/2 y π/2, con la antiderivada y = x/2 + sen(2x)/4
El área sombreada es \frac{\pi}{2} \approx 1.571. La antiderivada discontinua sube más rápido en x = 0, donde \cos^2 x = 1, y se aplana donde \cos^2 x = 0.

Deducción paso a paso

  1. Parte de \cos 2x = 2\cos^2 x - 1.
  2. Despeja \cos^2 x: \cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}.
  3. Sustituye: \displaystyle\int\cos^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int(1 + \cos 2x)\,dx.
  4. Integra: \frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2}\right) + C.
  5. Simplifica: \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C.

El paso 4 usa la integral de cos x con un factor \frac{1}{2} que sale del 2x interior.

Comprobación derivando

\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\cos 2x}{2} = \cos^2 x \checkmark

Una segunda comprobación: suma este resultado a la integral de sen² x:

\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) + \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right) = x

Coincide con \int(\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = \int 1\,dx = x. El sentido directo está en la página de la derivada de cos² x.

Integrales definidas

\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{4}, \qquad \int_0^{\pi}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}, \qquad \int_0^{2\pi}\cos^2 x\,dx = \pi
\int_0^{\pi/6}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{12} + \frac{\sin(\pi/3)}{4} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8} \approx 0.478

Variantes por sustitución

\int\cos^2(ax)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2ax)}{4a} + C

Ejemplo 1. \int\cos^2(5x)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 10x}{20} + C.

Ejemplo 2. \int\cos^2\frac{x}{2}\,dx = \int\frac{1 + \cos x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C.

Ejemplo 3: con un factor sen x. \int\cos^2 x\sin x\,dx = -\frac{\cos^3 x}{3} + C, usando u = \cos x. No hace falta ninguna identidad.

Dónde aparece: el área del círculo

El área de un círculo de radio 1 es 4\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,dx. Haz el cambio x = \sin\theta, dx = \cos\theta\,d\theta:

4\int_0^{\pi/2}\cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = 4\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = 4\cdot\frac{\pi}{4} = \pi

Los mismos pasos dan la integral de √(1 - x²). Consulta la sustitución trigonométrica para ver el método.

Ejemplo resuelto: cos² x sen² x

Usa \sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}, de modo que \sin^2 x\cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4} = \frac{1 - \cos 4x}{8}. Entonces

\int\sin^2 x\cos^2 x\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C

Errores comunes

  1. Responder \sin^2 x. Su derivada es 2\sin x\cos x.
  2. Responder \frac{\cos^3 x}{3}. Eso necesitaría un factor -\sin x.
  3. Usar 1 - \cos 2x. Esa identidad es para \sin^2 x. Una prueba rápida: en x = 0, \cos^2 x = 1, y \frac{1 + \cos 0}{2} = 1.
  4. Escribir \frac{\sin 2x}{2} en lugar de \frac{\sin 2x}{4}. Recuerda las dos mitades: una de la identidad y otra del 2x interior.

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Preguntas frecuentes

¿Cuál es la integral de cos² x?
Es \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C, o de forma equivalente \frac{1}{2}(x + \sin x\cos x) + C.

¿Cuánto vale la integral de cos² x entre 0 y 2π?
Vale \pi. El término \sin 2x es 0 en los dos extremos, y queda \frac{2\pi}{2}.

¿Cuál es la integral de cos²(x/2)?
Como \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}, la integral es \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C.

¿Cuál es la integral de cos² x sen x?
Usa u = \cos x, du = -\sin x\,dx. El resultado es -\frac{\cos^3 x}{3} + C.

Escrito por el equipo de PracticeCalculus

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