Integral de cos x: fórmula, deducción y ejemplos
La integral de cos x es sen x + C. Por qué no lleva signo menos, el área de un arco, cos(ax + b) por sustitución y ejemplos resueltos de integrales definidas.
Integrales trigonométricas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Antiderivada
- \sin x + C
- Área de un arco
- \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx = 2
- Periodo completo
- \int_0^{2\pi}\cos x\,dx = 0
- Forma lineal
- \int\cos(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}\sin(ax + b) + C
- Comprobación
- \dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x
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La integral de \cos x es \sin x + C. Como la derivada de \sin x es exactamente \cos x, es una de las integrales más limpias que existen.
Gráfica de cos x y su antiderivada
La antiderivada \sin x alcanza su máximo en x = \frac{\pi}{2}, justo donde \cos x pasa por cero de positiva a negativa.
Deducción paso a paso
- Pregúntate: ¿qué función tiene derivada \cos x?
- La derivada de sen x es \cos x.
- Así que \sin x es una antiderivada de \cos x.
- Suma C para incluir todas las antiderivadas: \sin x + C.
Aquí no hace falta corregir ningún signo, a diferencia de la integral de sen x.
Comprobación derivando
Integrales definidas
| Integral | Valor |
|---|---|
| \int_0^{\pi/2}\cos x\,dx | \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 |
| \int_0^{\pi/6}\cos x\,dx | \frac{1}{2} |
| \int_0^{\pi}\cos x\,dx | 0 |
| \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx | 2 |
Como \cos x es par, \int_{-a}^{a}\cos x\,dx = 2\int_0^a\cos x\,dx = 2\sin a.
Variantes por sustitución
Con u = ax + b:
Por ejemplo, \int\cos(4x - 1)\,dx = \frac{1}{4}\sin(4x - 1) + C, y \int\cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi}\sin(\pi x) + C.
Cuando la derivada del interior aparece como factor, usa el cambio de variable:
En la última, du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx, así que \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\,du.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1. \int(2\cos x - 3\sin x)\,dx = 2\sin x + 3\cos x + C. Fíjate en cómo el menos delante de \sin se combina con el menos de -\cos x para dar +3\cos x.
Ejemplo 2. \int_0^{\pi/4}\cos(2x)\,dx = \left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}.
Ejemplo 3: un problema de valor inicial. Si f'(x) = \cos x y f(0) = 3, entonces f(x) = \sin x + C y f(0) = C = 3, así que f(x) = \sin x + 3.
Ejemplo 4: movimiento armónico simple. Si un muelle tiene velocidad v(t) = 4\cos(2t) y posición s(0) = 0, entonces s(t) = 2\sin(2t). La amplitud es 2.
Errores comunes
- Escribir -\sin x. Esa es la derivada de \cos x, no la integral.
- Olvidar dividir entre a. \int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C, no \sin(3x) + C.
- Integrar \cos^2 x como \sin^2 x o \frac{\cos^3 x}{3}. Las potencias de funciones trigonométricas necesitan identidades. Consulta la integral de cos² x.
- Integrar \cos(x^2) como \frac{\sin(x^2)}{2x}. No puedes dividir entre una derivada interior que es variable. \int\cos(x^2)\,dx no tiene antiderivada elemental.
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