Integral de sen x: fórmula, deducción y ejemplos
La integral de sen x es -cos x + C. De dónde sale el signo menos, el área de un arco, sen(ax + b) por sustitución e integrales definidas resueltas.
Integrales trigonométricas Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Antiderivada
- -\cos x + C
- Área de un arco
- \int_0^\pi \sin x\,dx = 2
- Periodo completo
- \int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0
- Forma lineal
- \int\sin(ax + b)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax + b) + C
- Comprobación
- \dfrac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x
En esta página
La integral de \sin x es -\cos x + C. Casi todos los errores con esta integral se deben a una sola cosa: el signo menos.
Gráfica de sen x y su antiderivada
Donde \sin x > 0 (de 0 a \pi), la antiderivada -\cos x sube. Donde \sin x < 0 (de \pi a 2\pi), vuelve a bajar.
Deducción paso a paso
- Pregúntate: ¿qué función tiene derivada \sin x?
- Recuerda la derivada de cos x: \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x.
- Tiene la forma correcta pero el signo equivocado. Multiplica por -1: \frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x.
- Así que -\cos x es una antiderivada, y al sumar C se obtienen todas.
Un truco para recordarlo: recorrer el ciclo \sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin es derivar. Recorrerlo hacia atrás es integrar.
Comprobación derivando
Integrales definidas
Usando el Teorema Fundamental del Cálculo:
Otros valores útiles:
| Integral | Valor | Por qué |
|---|---|---|
| \int_0^{\pi/2}\sin x\,dx | 1 | -\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0 + 1 |
| \int_0^{\pi}\sin x\,dx | 2 | un arco completo |
| \int_0^{2\pi}\sin x\,dx | 0 | los dos arcos se cancelan |
| \int_{-a}^{a}\sin x\,dx | 0 | \sin x es impar |
Si quieres el área total en [0, 2\pi] en lugar del área con signo, integra \lvert\sin x\rvert y obtendrás 4.
Variantes por sustitución
Con u = ax + b, du = a\,dx:
Así, \int\sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C y \int\sin\left(\frac{x}{2}\right)dx = -2\cos\left(\frac{x}{2}\right) + C. Para \sin(2x) hay una página entera: la integral de sen 2x.
Cuando aparece como factor la derivada del interior, haz la sustitución:
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1. \int(3\sin x + 2x)\,dx = -3\cos x + x^2 + C.
Ejemplo 2. \int_0^{\pi/3}\sin x\,dx = -\cos\frac{\pi}{3} + \cos 0 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.
Ejemplo 3: posición a partir de la velocidad. Una partícula tiene v(t) = \sin t y parte de s(0) = 0. Entonces s(t) = -\cos t + C, y s(0) = -1 + C = 0 da C = 1, así que s(t) = 1 - \cos t.
Ejemplo 4: valor medio. El valor medio de \sin x en [0, \pi] es \frac{1}{\pi}\cdot 2 = \frac{2}{\pi} \approx 0.637.
Errores comunes
- Escribir \cos x + C. Compruébalo derivando: \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, así que el signo está mal.
- Olvidar dividir entre a en \int\sin(ax)\,dx.
- Multiplicar por a en su lugar. \int\sin(3x)\,dx no es -3\cos(3x). Eso es lo que haría la derivada.
- Errores de signo en las integrales definidas. Escribe [-\cos x] con corchetes y resta con cuidado: -\cos\pi = +1.
A continuación, consulta la integral de cos x, o practica con los ejercicios de integrales trigonométricas.
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Seno, coseno, eˣ y 1/x
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