Integral de eˣ sen x: fórmula, pasos y ejemplos

La integral de e^x\sin x es \dfrac{1}{2}e^x(\sin x - \cos x) + C. Es la famosa integral "cíclica": la integración por partes nunca termina por sí sola, pero tras dos pasos puedes despejar el resultado con álgebra.

Gráfica de eˣ sen x

Cómo integrar eˣ sen x paso a paso

Llama I a la integral. Usa la integración por partes con la función trigonométrica como u las dos veces.

1. Primera vuelta. u = \sin x, dv = e^x\,dx, así que du = \cos x\,dx y v = e^x: I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx
2. Segunda vuelta, sobre \int e^x\cos x\,dx. De nuevo la función trigonométrica es u: u = \cos x, dv = e^x\,dx, así que du = -\sin x\,dx, v = e^x: \int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I
3. Sustituye. La integral original ha vuelto: I = e^x\sin x - e^x\cos x - I
4. Despeja I. Suma I a los dos lados: 2I = e^x(\sin x - \cos x), así que I = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C

El + C se añade al final, después de despejar. También funciona con u = e^x las dos veces. Lo que falla es cambiar: si tomas u = \sin x primero y u = e^x después, el segundo paso deshace el primero y obtienes I = I.

Comprobación derivando

La fórmula general

El mismo bucle de dos pasos para e^{ax}\sin bx y e^{ax}\cos bx da

Con a = b = 1 el denominador es 2, que coincide con el resultado anterior.

Un camino más rápido con números complejos. Como e^{ix} = \cos x + i\sin x, e^x\sin x es la parte imaginaria de e^{(1+i)x}. Al integrar se obtiene \frac{e^{(1+i)x}}{1+i} = \frac{(1-i)}{2}e^x(\cos x + i\sin x), cuya parte imaginaria es \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x).

Integrales definidas

De 0 a π:

De 0 a π/2: \frac{e^{\pi/2}}{2}(1 - 0) - \frac{1}{2}(0 - 1) = \frac{e^{\pi/2} + 1}{2} \approx 2.905.

Versión amortiguada. \int_0^\infty e^{-x}\sin x\,dx. Usa la fórmula con a = -1, b = 1: la antiderivada es \frac{e^{-x}(-\sin x - \cos x)}{2}, que tiende a 0 en el infinito. Así que el valor es 0 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: eˣ cos x. Por el paso 2, \int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I. Sustituye I:

Ejemplo 2: ritmos distintos. \int e^{2x}\sin 3x\,dx = \frac{e^{2x}(2\sin 3x - 3\cos 3x)}{13} + C, usando a^2 + b^2 = 4 + 9 = 13.

Ejemplo 3: vibración amortiguada. El desplazamiento de un muelle es e^{-t}\cos t. Su desplazamiento total con signo en [0, \infty) es \int_0^\infty e^{-t}\cos t\,dt = \frac{1}{2}, por la fórmula del coseno con a = -1, b = 1: la antiderivada \frac{e^{-t}(\sin t - \cos t)}{2} va de -\frac{1}{2} a 0.

Errores comunes

1. Cambiar la elección de u entre las dos vueltas. Acabas con I = I, que es cierto pero inútil.
2. Olvidar dividir entre 2. Tras el paso 3 tienes 2I, no I.
3. Errores de signo en la segunda vuelta. \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, así que la segunda integral se suma, no se resta.
4. Esperar que las partes terminen. Con x\sin x la potencia de x desaparece; con e^x\sin x no desaparece nada, así que hace falta el bucle. Compárala con la integral de x sen x.

La lección de partes repetidas y LIATE practica este bucle, y la guía de integración por partes tiene más ejemplos.