Integral de tan² x: fórmula, deducción y ejemplos

La integral de \tan^2 x es \tan x - x + C. Una sola identidad la convierte en dos integrales que ya conoces.

Gráfica de tan² x y su antiderivada

Deducción paso a paso

1. Parte de la identidad pitagórica \sin^2 x + \cos^2 x = 1. Divide entre \cos^2 x para obtener \tan^2 x + 1 = \sec^2 x.
2. Reordena: \tan^2 x = \sec^2 x - 1.
3. Sustituye: \displaystyle\int\tan^2 x\,dx = \int\sec^2 x\,dx - \int 1\,dx.
4. Usa la integral de sec² x, \tan x, y la integral de una constante, x.
5. Junta todo: \tan x - x + C.

Comprobación derivando

Integrales definidas

Como \tan^2 x es par, \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\tan^2 x\,dx = 2 - \frac{\pi}{2}.

Variantes por sustitución

Fíjate en que solo el término con \tan lleva el factor \frac{1}{a}. El -x sale de integrar la constante 1, que no tiene función interior.

Ejemplo 1. \int\tan^2(3x)\,dx = \frac{1}{3}\tan(3x) - x + C.

Ejemplo 2. \int\tan^2\frac{x}{2}\,dx = 2\tan\frac{x}{2} - x + C.

Potencias mayores de la tangente

La identidad \tan^2 x = \sec^2 x - 1 es la clave para cualquier potencia de \tan x.

Ejemplo 3: tan³ x.

El primer término es \frac{\tan^2 x}{2} con u = \tan x. El segundo es la integral de tan x. Por tanto

Ejemplo 4: tan² x sec² x. Aquí u = \tan x funciona directamente: \int\tan^2 x\sec^2 x\,dx = \frac{\tan^3 x}{3} + C. Es el único caso en que \frac{\tan^3 x}{3} es la respuesta correcta, porque está el factor \sec^2 x.

Ejemplo 5: tan⁴ x. \tan^4 x = \tan^2 x(\sec^2 x - 1) = \tan^2 x\sec^2 x - \tan^2 x, así que

Errores comunes

1. Responder \frac{\tan^3 x}{3}. Eso necesita un factor \sec^2 x. Comprueba: su derivada es \tan^2 x\sec^2 x.
2. Responder \sec^2 x o \ln^2\lvert\sec x\rvert. Ninguna de las dos da \tan^2 x al derivar.
3. Escribir la identidad al revés. Es \sec^2 x - 1, no 1 - \sec^2 x. Pruébalo en x = \frac{\pi}{4}: \tan^2 = 1 y \sec^2 - 1 = 2 - 1 = 1.
4. Dividir -x entre a en \int\tan^2(ax)\,dx.

Practica con los ejercicios de integrales trigonométricas.