Integral de una constante y de 1: fórmula y ejemplos
La integral de una constante k es kx + C, y la integral de 1 es x + C. Descubre por qué, la interpretación como área, integrales definidas y errores comunes.
Potencias, raíces y funciones racionales Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Antiderivada
- kx + C
- Integral de 1
- \int 1\,dx = x + C
- Integral de 0
- \int 0\,dx = C
- Integral definida
- \int_a^b k\,dx = k(b - a)
- Comprobación
- \dfrac{d}{dx}(kx + C) = k
En esta página
La integral de una constante k es kx + C. En particular, la integral de 1 es x + C. Es la integral más sencilla del cálculo, y casi todas las demás integrales la usan en algún momento, normalmente como último término de un polinomio.
Gráfica: una constante da un rectángulo
El área bajo una recta horizontal siempre es un rectángulo. Su altura es k y su base es lo que ha avanzado x, así que el área acumulada crece como kx. Esa es toda la fórmula en un solo dibujo.
Por qué la integral de k es kx + C
Una integral pregunta: ¿qué función tiene esta derivada? Buscamos una función cuya pendiente sea k en todas partes. Una recta de pendiente k hace exactamente eso:
Sumar cualquier constante C desplaza la recta hacia arriba o hacia abajo sin cambiar su pendiente, así que toda función kx + C sirve. También puedes verlo como la regla de la potencia inversa con n = 0: como k = kx^0,
Comprobación derivando
Comprueba siempre una antiderivada calculando su derivada:
La página de derivadas correspondiente es la derivada de una constante, que recorre la misma idea al revés: la derivada de cualquier constante es 0.
Integrales definidas de una constante
Con el Teorema Fundamental del Cálculo:
Si k es negativa, el rectángulo queda por debajo del eje y el resultado es negativo. Por ejemplo, \int_0^4 (-2)\,dx = -8.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1. \int 7\,dx = 7x + C.
Ejemplo 2: constantes que parecen variables. Cualquier número sin x cuenta como constante, aunque se escriba con un símbolo:
Ejemplo 3: dentro de un polinomio. Usando las reglas de linealidad:
El 9 se convierte en 9x. Consulta la integral de x y la integral de x² para los otros dos términos.
Ejemplo 4: otra variable. \int 3\,dt = 3t + C. La variable del resultado coincide con la variable de dt.
Ejemplo 5: una integral definida. \int_{-1}^{4} 3\,dx = 3\big(4 - (-1)\big) = 15.
Errores comunes
- Integrar una constante y obtener 0. Esa es la regla de la derivada. La integración va en sentido contrario: \int 5\,dx = 5x + C, no 0.
- Escribir 5 + C. El resultado debe contener x. Comprueba: la derivada de 5 + C es 0, no 5.
- Olvidar el + C. Sin él solo tienes una antiderivada, no todas.
- Tratar e^2 o \pi^2 como una potencia de x. Son simples números. \int e^2\,dx es e^2x + C, no \frac{e^3}{3}.
¿Quieres practicar más? Prueba los ejercicios de antiderivadas o lee la guía sobre antiderivadas.
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