Integral de sec³ x: fórmula, deducción y ejemplos

La integral de \sec^3 x es \dfrac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C. Es el ejemplo clásico de integración por partes en el que la integral vuelve a aparecer y hay que despejarla.

Gráfica de sec³ x y el área bajo ella

Deducción por partes, paso a paso

Llama I = \int\sec^3 x\,dx a la integral.

1. Separa \sec^3 x = \sec x\cdot\sec^2 x y usa la regla de integración por partes con u = \sec x,\quad dv = \sec^2 x\,dx,\qquad du = \sec x\tan x\,dx,\quad v = \tan x
2. Aplica \int u\,dv = uv - \int v\,du: I = \sec x\tan x - \int\sec x\tan^2 x\,dx
3. Sustituye \tan^2 x por \sec^2 x - 1: I = \sec x\tan x - \int\sec^3 x\,dx + \int\sec x\,dx = \sec x\tan x - I + \int\sec x\,dx
4. La integral original I ha aparecido a la derecha. Suma I a los dos lados: 2I = \sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert
5. Divide entre 2 y añade C.

El paso 4 usa la integral de sec x. La elección dv = \sec^2 x\,dx funciona porque \sec^2 x es la parte que se integra fácilmente, dando \tan x. La guía de integración por partes tiene más ejemplos de este bucle.

Comprobación derivando

Primero, por la regla del producto:

Sustituye \tan^2 x por \sec^2 x - 1 y obtienes 2\sec^3 x - \sec x. El término logarítmico tiene derivada \sec x. Por tanto

Integral definida

En x = \frac{\pi}{4}: \sec = \sqrt{2}, \tan = 1. En x = 0: \sec = 1, \tan = 0 y \ln 1 = 0. Así que

Aplicación: integral de √(1 + x²) y longitud de arco

Sea x = \tan\theta, dx = \sec^2\theta\,d\theta. Entonces \sqrt{1 + x^2} = \sec\theta y

La longitud de arco de la parábola y = \frac{x^2}{2} entre x = 0 y x = 1 es \int_0^1\sqrt{1 + x^2}\,dx, que es exactamente el área sombreada de arriba: aproximadamente 1.148. Tienes más en la lección sobre longitud de arco y área de superficie.

La fórmula de reducción

Los mismos pasos con \sec^n x dan

Con n = 3 es nuestro resultado. Con n = 5, reduce \sec^5 x a \sec^3 x, que ya conoces.

Errores comunes

1. Usar la regla de la potencia: \frac{\sec^4 x}{4}. Su derivada es \sec^4 x\tan x, no \sec^3 x.
2. Elegir u = \sec^2 x, dv = \sec x\,dx. Entonces v = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert, y la nueva integral es mucho más difícil.
3. Olvidar dividir entre 2 después de agrupar los términos en I.
4. Perder el término logarítmico. Es fácil olvidar la \int\sec x\,dx del paso 3.

Practica con los ejercicios de integración por partes.