Integral de x cos x: fórmula, pasos y ejemplos
La integral de x cos x es x sen x + cos x + C. Integración por partes paso a paso, la comprobación, una gráfica, integrales definidas y ejemplos como x² cos x.
Productos e integración por partes Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Antiderivada
- x\sin x + \cos x + C
- Método
- Integración por partes con u = x, dv = \cos x\,dx
- De 0 a π/2
- \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571
- De 0 a π
- -2
- Con cos(kx)
- \int x\cos kx\,dx = \frac{x}{k}\sin kx + \frac{1}{k^2}\cos kx + C
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La integral de x\cos x es x\sin x + \cos x + C. Igual que x\sin x, es una potencia de x por una función trigonométrica, así que la integración por partes con u = x la resuelve en un paso.
Gráfica de x cos x y su antiderivada
Cómo integrar x cos x paso a paso
Usa la integración por partes, \int u\,dv = uv - \int v\,du.
- Elige las partes. u = x y dv = \cos x\,dx.
- Halla du y v. du = dx y v = \sin x, por la integral de cos x.
- Aplica la fórmula. \int x\cos x\,dx = x\sin x - \int\sin x\,dx
- Termina. \int\sin x\,dx = -\cos x, y al restarla se obtiene +\cos x: \int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C
u = x es la elección correcta porque su derivada es 1, lo que elimina la x. Elegir u = \cos x subiría la potencia a x^2.
Comprobación derivando
El \sin x de la regla del producto cancela el -\sin x que sale de \cos x.
Integrales definidas
Sea F(x) = x\sin x + \cos x.
| Integral | Cálculo | Valor |
|---|---|---|
| \int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx | \left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1) | \frac{\pi}{2} - 1 |
| \int_0^{\pi} x\cos x\,dx | (0 - 1) - (0 + 1) | -2 |
| \int_{\pi/2}^{3\pi/2} x\cos x\,dx | \left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} | -2\pi |
| \int_{-a}^{a} x\cos x\,dx | integrando impar | 0 |
La última fila usa la simetría: x\cos x es impar (una función impar por una par), así que las áreas de los dos lados se cancelan.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: un ángulo escalado. \int x\cos 3x\,dx. Con u = x y v = \frac{1}{3}\sin 3x:
Ejemplo 2: x al cuadrado. \int x^2\cos x\,dx. Primera vuelta con u = x^2, v = \sin x:
La integral de x sen x es \sin x - x\cos x, así que
Ejemplo 3: un factor lineal. \int(2x - 1)\cos x\,dx. Con u = 2x - 1, du = 2\,dx:
Ejemplo 4: un coeficiente de Fourier. En las series de Fourier aparecen integrales como \int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)\,dx. El integrando es impar, así que el resultado es 0 para todo número natural n, sin necesidad de partes.
Ejemplo 5: un producto escondido. \int x\cos^2 x\,dx. Escribe \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} (consulta la integral de cos² x), y entonces
Errores comunes
- Escribir x\sin x - \cos x. Lo que queda es -\int\sin x\,dx = -(-\cos x) = +\cos x.
- Confundirla con x\sin x. Aquí v = \sin x sin cambio de signo; con x\sin x, v = -\cos x.
- Integrar factor a factor. \frac{x^2}{2}\sin x no es el resultado; derívalo para ver por qué.
- Perder el \frac{1}{k^2} del segundo término cuando el ángulo es kx.
Para practicar más, prueba los ejercicios de integración por partes.
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