Regra do quociente para derivadas: fórmula, macete e exemplos
A regra do quociente: (f/g)' = (f'g − fg')/g². A fórmula, um macete para memorizar, exemplos resolvidos, quando evitá-la e erros comuns.
Regras de derivação Atualizado 2 min de leitura
Visão geral
- Aplica-se a
- Um quociente de duas funções diferenciáveis, onde g(x) \ne 0
- Em palavras
- Derivada de cima vezes a de baixo, menos a de cima vezes a derivada de baixo, sobre a de baixo ao quadrado
- A ordem importa
- Sim, o numerador tem uma subtração, então comece por f'g
- Evite quando
- O denominador for uma constante ou uma única potência de x
- Deduzida de
- Regra do produto e regra da cadeia aplicadas a f \cdot g^{-1}
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A regra do quociente encontra a derivada de uma função dividida por outra. Assim como a regra do produto, ela não é o que você talvez imagine à primeira vista: a derivada de \frac{f}{g} não é \frac{f'}{g'}. O numerador tem uma subtração, então a ordem dos termos importa.
A fórmula da regra do quociente
Se f e g são diferenciáveis e g(x) \ne 0, então
O macete clássico, com "a de cima" sendo o numerador e "a de baixo" o denominador:
Derivada de cima vezes a de baixo, menos a de cima vezes a derivada de baixo, sobre a de baixo ao quadrado.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: uma função racional. Para \frac{x^2}{x + 1}, tome f = x^2, f' = 2x, g = x + 1, g' = 1:
Exemplo 2: simplifique o numerador. Para \frac{3x - 1}{x^2 + 1}:
Exemplo 3: a derivada de \tan x. Escreva \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}:
Exemplo 4: uma exponencial sobre uma potência. Para \frac{e^x}{x}:
Quando dispensar a regra do quociente
Nem toda fração precisa da regra do quociente. Reescrever costuma ser mais rápido e menos sujeito a erros:
| Função | Reescrita | Derivada |
|---|---|---|
| \frac{x^3}{5} | \frac{1}{5}x^3 | \frac{3}{5}x^2 |
| \frac{4}{x^2} | 4x^{-2} | -\frac{8}{x^3} |
| \frac{x^3 + x}{x} | x^2 + 1 (para x \ne 0) | 2x |
| \frac{2}{\sqrt{x}} | 2x^{-1/2} | -x^{-3/2} |
A primeira usa a regra da constante multiplicativa; as outras usam a regra da potência e a regra da soma.
De onde vem a regra do quociente
Escreva \frac{f}{g} = f \cdot g^{-1}. A regra do produto e a regra da cadeia dão
Então, se esquecer a fórmula, você sempre pode recorrer à regra do produto.
Erros comuns
- Trocar a ordem no numerador. fg' - f'g dá o oposto da resposta certa.
- Esquecer de elevar o denominador ao quadrado. Embaixo fica g^2, não g.
- Dividir as derivadas. \left(\frac{f}{g}\right)' \ne \frac{f'}{g'}.
- Expandir o denominador. Deixe (x+1)^2 fatorado. A resposta fica mais simples e os zeros e as mudanças de sinal ficam fáceis de ver.
- Confundir com a regra de L'Hôpital. A regra de L'Hôpital deriva o numerador e o denominador separadamente para calcular um limite. A regra do quociente calcula uma derivada.
Para uma explicação mais longa das duas regras juntas, leia o guia completo das regras do produto e do quociente.
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A regra do quociente
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