Quotientenregel beim Ableiten: Formel, Merksatz und Beispiele
Die Quotientenregel: (f/g)' = (f'g − fg')/g². Die Formel, der Merksatz NAZ minus ZAN, Rechenbeispiele, wann man sie umgeht und typische Fehler.
Ableitungsregeln Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Anwendbar auf
- Einen Quotienten zweier differenzierbarer Funktionen, überall wo g(x) \ne 0
- In Worten
- Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, geteilt durch das Quadrat des Nenners
- Reihenfolge wichtig
- Ja, im Zähler steht eine Subtraktion, also beginne mit f'g
- Vermeiden, wenn
- Der Nenner eine Konstante oder eine einzelne Potenz von x ist
- Hergeleitet aus
- Produktregel und Kettenregel, angewendet auf f \cdot g^{-1}
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Mit der Quotientenregel bestimmst du die Ableitung einer Funktion, die durch eine andere geteilt wird. Wie bei der Produktregel ist sie nicht das, was man zuerst vermuten würde: Die Ableitung von \frac{f}{g} ist nicht \frac{f'}{g'}. Im Zähler steht eine Subtraktion, also kommt es auf die Reihenfolge der Terme an.
Die Formel der Quotientenregel
Sind f und g differenzierbar und ist g(x) \ne 0, dann gilt
Der klassische Merksatz, mit Z für den Zähler, N für den Nenner und A für die Ableitung:
NAZ minus ZAN durch N-Quadrat.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: eine gebrochenrationale Funktion. Für \frac{x^2}{x + 1} nimmst du f = x^2, f' = 2x, g = x + 1, g' = 1:
Beispiel 2: den Zähler vereinfachen. Für \frac{3x - 1}{x^2 + 1}:
Beispiel 3: die Ableitung von \tan x. Schreibe \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}:
Beispiel 4: eine Exponentialfunktion geteilt durch eine Potenz. Für \frac{e^x}{x}:
Wann du die Quotientenregel umgehen kannst
Nicht jeder Bruch braucht die Quotientenregel. Umschreiben ist oft schneller und weniger fehleranfällig:
| Funktion | Umgeschrieben | Ableitung |
|---|---|---|
| \frac{x^3}{5} | \frac{1}{5}x^3 | \frac{3}{5}x^2 |
| \frac{4}{x^2} | 4x^{-2} | -\frac{8}{x^3} |
| \frac{x^3 + x}{x} | x^2 + 1 (für x \ne 0) | 2x |
| \frac{2}{\sqrt{x}} | 2x^{-1/2} | -x^{-3/2} |
Die erste Zeile nutzt die Faktorregel, die anderen die Potenzregel und die Summenregel.
Woher die Quotientenregel kommt
Schreibe \frac{f}{g} = f \cdot g^{-1}. Produktregel und Kettenregel liefern
Wenn du die Formel vergisst, kannst du also immer auf die Produktregel zurückgreifen.
Häufige Fehler
- Die Reihenfolge im Zähler vertauschen. fg' - f'g liefert das Negative der richtigen Antwort.
- Vergessen, den Nenner zu quadrieren. Unten steht g^2, nicht g.
- Die Ableitungen dividieren. \left(\frac{f}{g}\right)' \ne \frac{f'}{g'}.
- Den Nenner ausmultiplizieren. Lass (x+1)^2 faktorisiert stehen. So bleibt das Ergebnis einfacher, und Nullstellen und Vorzeichenwechsel sind leicht zu erkennen.
- Verwechslung mit der Regel von L'Hospital. Die Regel von L'Hospital leitet Zähler und Nenner getrennt ab, um einen Grenzwert zu bestimmen. Die Quotientenregel bestimmt eine Ableitung.
Eine ausführlichere Erklärung beider Regeln findest du im vollständigen Leitfaden zur Produkt- und Quotientenregel.
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