MATH-F201 Calcul différentiel et intégral II ULB : guide et exercices

MATH-F201 Calcul différentiel et intégral II est la suite de MATH-F101 à l'Université libre de Bruxelles. Là où le premier cours construit l'analyse à une et plusieurs variables, MATH-F201 étudie des objets plus riches : séries de fonctions, séries de Fourier, intégrales à paramètres, équations différentielles et fonctions d'une variable complexe. Ce guide relie les notions du cours qui ont un équivalent pratique à des exercices interactifs.

Ce que couvre MATH-F201

D'après la fiche officielle de l'ULB (2025-2026), le cours vaut 10 ECTS et est enseigné en français. L'évaluation comprend des examens écrits en janvier et en juin et des travaux personnels. La section des cours prérequis est vide, mais le contenu prolonge directement MATH-F101. Le programme comporte quatre parties :

1. Suites et séries de fonctions : convergence simple, absolue, uniforme et normale, continuité et dérivabilité de la limite, séries entières, séries de Fourier (Dirichlet, Bessel, Parseval).
2. Intégrales sur un intervalle quelconque : intégrales absolument et simplement convergentes, intégrales à paramètres, transformation de Fourier sur la classe de Schwartz.
3. Équations différentielles : problème de Cauchy, réduction à l'ordre 1, théorème de Cauchy-Lipschitz local et global, systèmes linéaires, lemme de Gronwall, formule de Duhamel, exponentielle de matrice.
4. Fonctions d'une variable complexe : équations de Cauchy-Riemann, fonctions holomorphes, théorème de Cauchy, singularités isolées, théorème de Liouville, théorème des résidus.

PracticeCalculus couvre surtout les parties calculatoires : séries entières, développements de Taylor, intégrales impropres et premières équations différentielles. Les séries de Fourier et l'analyse complexe dépassent nos leçons.

Plan des notions de MATH-F201

MATH-F101 puis MATH-F201

Le guide de MATH-F101 détaille le premier cours.

Exemples d'exercices au niveau de MATH-F201

1. Rayon de convergence. Pour \sum \frac{x^n}{n\,2^n}, le critère de d'Alembert donne \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \to \frac{1}{2}, donc R = 2.

2. Intégrale impropre.

3. Équation différentielle. La solution de y' = y^2 avec y(0) = 1 est y(x) = \frac{1}{1 - x}, définie seulement pour x < 1 : une solution peut exploser en temps fini, ce que le théorème de Cauchy-Lipschitz local permet.

Comment réussir MATH-F201

• Distinguez les modes de convergence. Convergence simple, uniforme et normale n'ont pas les mêmes conséquences : faites un tableau de ce que chacune garantit.
• Maîtrisez les séries entières usuelles de e^x, \sin x, \cos x, \frac{1}{1 - x} et \ln(1 + x).
• Gardez les intégrales de référence en tête. \int_1^{\infty} \frac{dx}{x^p} et \int_0^1 \frac{dx}{x^p} décident de la plupart des convergences.
• Pratiquez le calcul. Nos exercices sur les séries et les intégrales impropres donnent une correction immédiate.

Astuce : pour trouver un rayon de convergence, commencez par le critère de d'Alembert sur |a_n x^n|, puis traitez séparément les deux bornes de l'intervalle.