MATH-F101 Calcul différentiel et intégral I ULB : guide et exercices

MATH-F101 Calcul différentiel et intégral I est le grand cours d'analyse de première année à l'Université libre de Bruxelles. Avec 15 ECTS sur toute l'année, il couvre en un seul cours ce qu'un cursus nord-américain répartit entre Calcul 1, Calcul 2 et Calcul 3, avec la rigueur d'un cours de mathématiques. Ce guide relie chaque partie de la fiche officielle à des exercices interactifs.

Ce que couvre MATH-F101

D'après la fiche officielle de l'ULB (2025-2026), le cours compte chaque semaine 4 heures de cours magistral, 2 heures d'exercices et 2 heures de travail en petits groupes. Aucun cours n'est exigé au préalable : la matière est reprise depuis le début, mais l'habitude du raisonnement mathématique est présentée comme un atout essentiel. L'évaluation porte sur les deux quadrimestres.

Premier quadrimestre. Après une introduction et des motivations, le cours traite les nombres réels, la convergence des suites et des séries, les limites et la continuité des fonctions d'une variable, la dérivabilité, le théorème des accroissements finis, l'approximation de Taylor, les extrema, l'intégrale de Riemann et le théorème fondamental de l'analyse. Il définit aussi rigoureusement l'exponentielle et les fonctions trigonométriques.

Second quadrimestre. Le cours passe aux équations différentielles, étend les notions précédentes aux fonctions de plusieurs variables, puis étudie les intégrales de courbe et de surface, l'analyse vectorielle et les théorèmes de Green, de Stokes et de la divergence. Il se termine par le théorème du point fixe de Banach, le théorème d'inversion locale et celui des fonctions implicites.

Plan des notions de MATH-F101

Le point fixe de Banach, l'inversion locale et les fonctions implicites relèvent de l'analyse théorique et dépassent nos leçons pratiques.

MATH-F101 puis MATH-F201

Voir le guide de MATH-F201.

Exemples d'exercices au niveau de MATH-F101

1. Limite par Taylor.

car e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2).

2. Série géométrique. \sum_{n \geq 0} \left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 3.

3. Théorème de Green. Pour \mathbf{F} = (-y, x) et C le cercle unité orienté positivement, \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_D 2\,dA = 2\pi.

Comment réussir MATH-F101

• Tenez sur la durée. Un cours annuel de 15 ECTS se prépare semaine après semaine, pas seulement en blocus.
• Profitez des petits groupes. Les 2 heures de travail en petits groupes sont le meilleur moment pour poser des questions sur les preuves.
• Gardez le calcul solide. Les preuves s'appuient sur des calculs sûrs. Nos exercices donnent une correction immédiate.
• Préparez le second quadrimestre. Les dérivées partielles et les intégrales multiples arrivent vite : un peu d'avance aide beaucoup.

Astuce : pour retenir Green, Stokes et la divergence, retenez une seule idée : l'intégrale d'une dérivée sur un domaine égale l'intégrale de la fonction sur son bord.